计算机222-第2部分
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离散数学方面我们北京工业大学实验学院有个世界级的专家，叫邵学才，复旦大学概率论毕业的，教过高等数学，线性代数，概率论，最后转向离散数学，出版著作无数，论文集新加坡有一本，堪称经典，大家想学离散数学的真谛不妨找来看看。这老师的课我专门去听过，极为经典。不过你要从他的不经意的话中去挖掘精髓。在同他的交谈当中我又深刻地发现一个问题，虽说邵先生写书无数，但依他自己的说法每本都差不多，我实在觉得诧异，他说主要是有大纲的限制，不便多写。这就难怪了，很少听说国外写书还要依据个什么大纲（就算有，内容也宽泛的多），不敢越雷池半步，这样不是看谁的都一样了。外版的书好就好在这里，最新的科技成果里面都有论述，别的先不说，至少？quot；紧跟时代的理论知识〃。
原先离散数学和数据结构归在一起成为离散数学结构，后来由于数据结构的内容比较多，分出来了，不过最近国外好像有些大学又把它们合并到了一起，道理当然不用说，可能还是考虑到交叉的部分比较多。比较经典的书我看过得应算是《Discrete Mathematical Structures》了，清华大学出版社有个影印版的。
＇4＇续谈其他的一些计算数学
组合数学我看的第一本好像是北大捐给我们学院的，一本外版书。感觉没有太适合的国产书。还是读Graham和Knuth等人合著的经典〃具体数学〃吧，西安电子科技大学出版社有翻译版。
《组合数学》，《空间解析几何》还有那本《拓扑学》，看这三本书的时候是极其费事的，原因有几点，首先是这三本书无一例外，都是用繁体字写的，第二就是书真得实在是太脏了，我在图书馆的座位上看，同学们都离我做得很远。我十分不自然，不愿意影响同学，但是学校不让向外借这种书（呵呵，说起这是也挺有意思，别人都不看这种书，只有我在看，老师就特别的关注我，后来我和他讲了这些书的价值，他居然把他们当作是震馆之宝，老师都不许借，不过后来他们看我真得很喜欢看，就把书借给了我，当然用的是馆长的名义借出去的。）不过收获是非常大的，再后来学习计算机理论时里面的很多东西都是常会用到的。当然如果你没看过这些书绝对理解不到那个层次。拿拓扑学来说，我们学校似乎是美开设这门课程，但是这门课程的重要性是显而易见的，没有想到的是在那本书的很多页中都夹着一些读书笔记，而那个笔记的作者及有些造诣，有些想法可以用到现代网络设计当中。
抽象代数，国内经典为莫宗坚先生的《代数学》。此书听说是北大数学系教材，深得好评。然而对本科生来说，此书未免太深。可以先学习一些其它的教材，然后再回头来看〃代数学〃。国际上的经典可就多了，GTM系列里就有一大堆。推荐一本谈不上经典，但却最简单的，最容易学的：math。miami。edu/~ec/book/这本〃Introduction to Linear and Abstract Algebra〃非常通俗易懂，而且把抽象代数和线性代数结合起来，对初学者来说非常理想，我校比较牛的同学都有收藏。
数论方面，国内有经典而且以困难著称摹冻醯仁 邸？（潘氏兄弟著，北大版）。再追溯一点，还有更加经典（可以算世界级）并且更加困难的〃数论导引〃（华罗庚先生的名著，科学版，九章书店重印，繁体的看起来可能比较困难）。把基础的几章搞定一个大概，对本科生来讲足够了。但这只是初等数论。本科毕业后要学计算数论，你必须看英文的书，如Bach的〃Introduction to Algorithmic Number Theory〃。
计算机科学理论的根本，在于算法。现在很多系里给本科生开设算法设计与分析，确实非常正确。环顾西方世界，大约没有一个三流以上计算机系不把算法作为必修的。算法教材目前公认以Corman等著的《Introduction to Algorithms》为最优。对入门而言，这一本已经足够，不需要再参考其它书。 深一点的就是大家作为常识都知道的TAOCP了。即是《The Art of puter Programming》3册内容全世界都能看下来的本身就不多，Gates曾经说过〃若是你能把这书上面的东西都看懂，请把你的简历发给我一份〃我的学长司徒彦南兄就曾千里迢迢从美国托人买这书回来，别的先不说，可见这书的在我们计算机科学与技术系中的分量。
再说说形式语言与自动机。我看过北邮的教材，应该说写的还清楚。有一本通俗易懂的好书，MIT的sipser的 《introduction to theory of putation》。但是，有一点要强调：形式语言和自动机的作用主要在作为计算模型，而不是用来做编译。事实上，编译前端已经是死领域，没有任何open problems，北科大的班晓娟博士也曾经说过，编译的技术已相当成熟。如果为了这个，我们完全没必要去学形式语言用用yacc什么的就完了。北邮的那本在国内还算比较好，但是在深度上，在跟可计算性的联系上都有较大的局限，现代感也不足。所以建议有兴趣的同学去读英文书，不过国内似乎没引进这方面的教材。可以去互动出版网上看一看。入门以后，把形式语言与自动机中定义的模型，和数理逻辑中用递归函数定义的模型比较一番，可以说非常有趣。现在才知道，什么叫〃宫室之美，百官之富〃！
计算机科学和数学的关系有点奇怪。二三十年以前，计算机科学基本上还是数学的一个分支。而现在，计算机科学拥有广泛的研究领域和众多的研究人员，在很多方面反过来推动数学发展，从某种意义上可以说是孩子长得比妈妈还高了。但不管怎么样，这个孩子身上始终流着母亲的血液。这血液是the mathematical underpinning of puter science（计算机科学的数学基础），也就是理论计算机科学。原来在东方大学城图书馆中曾经看过一本七十年代的译本（书皮都没了，可我就爱关注这种书），大概就叫《计算机数学》。那本书若是放在当时来讲决是一本好书，但现在看来，涵盖的范围还算广，深度则差了许多，不过推荐大一的学生倒可以看一看，至少可以使你的计算数学入入门，也就是说至少可以搞清数学到底在计算机科学什么地方使用。
最常和理论计算机科学放在一起的一个词是什么？答：离散数学。这两者的关系是如此密切，以至于它们在不少场合下成为同义词。（这一点在前面的那本书中也有体现）传统上，数学是以分析为中心的。数学系的同学要学习三四个学期的数学分析，然后是复变函数，实变函数，泛函数等等。实变和泛函被很多人认为是现代数学的入门。在物理，化学，工程上应用的，也以分析为主。
随着计算机科学的出现，一些以前不太受到重视的数学分支突然重要起来。人们发现，这些分支处理的数学对象与传统的分析有明显的区别：分析研究的问题解决方案是连续的，因而微分，积分成为基本的运算；而这些分支研究的对象是离散的，因而很少有机会进行此类的计算。人们从而称这些分支为〃离散数学〃。〃离散数学〃的名字越来越响亮，最后导致以分析为中心的传统数学分支被相对称为〃连续数学〃。
离散数学经过几十年发展，基本上稳定下来。一般认为，离散数学包含以下学科：
1） 集合论，数理逻辑与元数学。这是整个数学的基础，也是计算机科学的基础。
2） 图论，算法图论；组合数学，组合算法。计算机科学，尤其是理论计算机科学的核心是算法，而大量的算法建立在图和组合的基础上。
3） 抽象代数。代数是无所不在的，本来在数学中就非常重要。在计算机科学中，人们惊讶地发现代数竟然有如此之多的应用。
但是，理论计算机科学仅仅就是在数学的上面加上〃离散〃的帽子这么简单吗？一直到大约十几年前，终于有一位大师告诉我们：不是。D。E。Knuth（他有多伟大，我想不用我再说了）在Stanford开设了一门全新的课程Concrete Mathematics。 Concrete这个词在这里有两层含义：
首先：对abstract而言。Knuth认为，传统数学研究的对象过于抽象，导致对具体的问题关心不够。他抱怨说，在研究中他需要的数学往往并不存在，所以他只能自己去创造一些数学。为了直接面向应用的需要，他要提倡〃具体〃的数学。在这里我做一点简单的解释。例如在集合论中，数学家关心的都是最根本的问题公理系统的各种性质之类。而一些具体集合的性质，各种常见集合，关系，映射都是什么样的，数学家觉得并不重要。然而，在计算机科学中应用的，恰恰就是这些具体的东西。Knuth能够首先看到这一点，不愧为当世计算机第一人。其次，Concrete是Continuous（连续）加上discrete（离散）。不管连续数学还是离散数学，只要是能与我们研究的内容挂上钩的都是有用的数学！
2、理论与实际的结合计算机科学技术研究的范畴与学习方法
前面主要是从数学角度来看的。从计算机角度来看，理论计算机科学目前主要的研究领域包括：可计算性理论，算法设计与复杂性分析，密码学与信息安全，分布式计算理论，并行计算理论，网络理论，生物信息计算，计算几何学，程序语言理论等等。这些领域互相交叉，而且新的课题在不断提出，所以很难理出一个头绪来。想搞搞这方面的工作，推荐看中国计算机学会的一系列书籍，至少代表了我国的权威。下面随便举一些例子。
由于应用需求的推动，密码学现在成为研究的热点。密码学建立在数论（尤其是计算数论），代数，信息论，概率论和随机过程的基础上，有时也用到图论和组合学等。很多人以为密码学就是加密解密，而加密就是用一个函数把数据打乱。这样的理解太浅显了。
现代密码学至少包含以下层次的内容：
第一，密码学的基础。例如，分解一个大数真的很困难吗？能否有一般的工具证明协议正确？
第二，密码学的基本课题。例如，比以前更好的单向函数，签名协议等。
第三，密码学的高级问题。例如，零知识证明的长度，秘密分享的方法。
第四，密码学的新应用。例如，数字现金，叛徒追踪等。
密码学方面值得推荐的有一本《应用密码学》还有就是平时多看看年会的论文集，感觉这种材料实用性比较强，会提高很快。
在分布式系统中，也有很多重要的理论问题。例如，进程之间的同步，互斥协议。一个经典的结果是：在通信信道不可靠时，没有确定型算法能实现进程间协同。所以，改进TCP三次握手几乎没有意义。例如时序问题。常用的一种序是因果序，但因果序直到不久前才有一个理论上的结果。。。。例如，死锁没有实用的方法能完美地对付。例如；。。。。。。操作系统研究过就自己去举吧！
如果计算机只有理论，那么它不过是数学的一个分支，而不成为一门独立的科学。事实上，在理论之外，计算机科学还有更广阔的天空。
我一直认为，4年根本不够学习计算机的基础知识，因为面太宽了，要是真学的话，我想至少8年的学习能使你具有一定的科学素养。。。。。。
这方面我想先说说我们系在各校普遍开设的《计算机基础》。在高等学校开设《计算机基础课程》是我国高教司明文规定的各专业必修课程要求。主要内容是使学生初步掌握计算机的发展历史，学会简单的使用操作系统，文字处理，表格处理功能和初步的网络应用功能。但是在计算机科学系教授此门课程的目标决不能与此一致。�
