聊聊狭义相对论-第13部分
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靡傻模 �
“那么，俺来总结一下……”兔子还是一脸不解。
x’=x…ut
y’=y
z’=z
t’=t
或者
x=x’＋ut’
y=y’
z=z’
t=t’
上面四个式子跟下面的四个式子其实是一样的，只不过带撇的字母写在不同一边而已。
这四个式子就是大名鼎鼎的伽利略变换式！
其实，也不过如此嘛，你都能推出来，是吧？
还告诉你这么一个事实，至于具体的数学表达就不说了。当你把牛顿的定律放进伽利略变换式里，变换所得到的方程的形式跟没有变换之前是相同的！
不过，我们已经知道了，伽利略相对性原理事实上是不够完美的，下面，我们就从新的假设出发，用爱因斯坦的两个原理，看能够发现什么。
好，我们继续前行。
在进行推导之前，我们先来想一个问题。伽利略变换式对应的是伽利略相对性原理，而现在，我们业已将其推广到了狭义相对性原理。不过，需要注意的是，伽利略相对性原理在一定范围内还是正确的，至少在牛顿力学里，依旧是有效的。这绝对不是偶然的，一定有一些什么玄机在其中。
在低速这个我们熟悉的世界里，伽利略相对性原理可谓君临天下，无所不能呀！所以，我们将它推广了之后，至少它的这个优点不能丢掉吧，otherwise，就没有推广的必要了。因此，我们可以预见，倘若我们的推广是正确的话，新的变换式应该在某种程度上可以“退化”或“近似”成为伽利略变换式！
这一点将成为我们检验将要推出的变换式的第一个条件。
我们还可以知道，时空是均匀的，那么两个惯性系之间的时空变换式也应该是线性的。（这个，有点抽象是吧？我们就先模糊地理解吧！）
基于上面的两个讨论，爆牙兔把伽利略变换式x’=x…ut和x=x’＋ut’改写成
x’=γ（x…ut）
和x=γ（x’＋ut’）
“这样做的原因有，首先得符合线性的要求嘛！所以直接乘上一个γ。而这个γ呢，应该和x、t或者x’、t’都没有关系，不随它们的变化而变化。这样的话，就能在某种程度上回到伽利略变换式，比方说，当γ近似等于1是时，就大功告成啦！嘿嘿！”爆牙兔眼中无人了。
“好，伙计，当我的坐标系跟你的坐标系重合之时，假设从原点发出了一束沿x轴正方向传播的光线。哎呀，你不要管哪里来的嘛！反正有就是了！”兔子哼哼道。
“ 接下来注意啦！”
“那么，根据光速不变原理，在说一次——光速不变原理！很明显，你将会测得这束光的速度为c，所以，你得到在t时间里光走过的距离为
x=ct。”
“同样根据光速不变原理，虽然我在你看来以u在走猫步，但是，我看到这束光的速度也是c！因为这是光速不变原理说的！在任意惯性系中测得的光速都是c！又根据狭义相对性原理，我们的方程，包括电磁方面的规律，形式都应该是一样的。所以，我认为，在t’时间里面，光走过的距离应该是
x’=ct’。”
接下来，我们分工合作好吗？各自把光走过的距离的式子代进上面兔哥假设的新的式子中去。
兔子得到的是
ct’=γ（ct…ut）
你得到的是
ct=γ（ct’＋ut’）
呵呵，这很简单吧？我们再把右边括号里面的同样的t或t’提到括号外面来，这样看起来舒服些，也就是
ct’=γt（c…u）
ct=γt’（c＋u）
嘿嘿，之后把上面两个式子左边乘左边，右边乘右边，呵呵
cctt’=γγtt’（c…u）（c＋u）
发现了没有？那个tt’两边都有哟，行，把他们都“干”掉
cc=γγ（c…u）（c＋u）
还记得（c…u）（c＋u）=c2…u2这条公式吗？初中的内容喔，来再用一下，可以变得更简洁一些
c2=γ2（c2…u2）
好，把（c2…u2）移到左边去，我们的目的是求是γ究竟等于多少，那么新的变换式就有着落了。
c2/（c2…u2）= γ2
接下来，再玩个游戏，把左边式子的分子、分母都同时除以一个c2
呵呵，等于多少呢？
1/（1… u2/ c2）=γ2
为了求得γ，我们还必须得两边开方哟，于是
γ=1/√（1… u2/ c2）
“哇噻！完全符合俺兔子的预想！γ跟x、t或者x’、t’都没有关系！啊！伟大的兔子！他继承了兔子的光荣的传统！他是一个兔子在战斗！……它只跟u有关系呀！而且，看见了没有？当u很小时，而c却是很大的哟，等于30万呀，那分母就近似等于1，而γ就回到1了！就回到伽利略变换式啦！”兔子疯狂了。
看来，我们得到的结果具有较好的初步效果哟！
来，我们先把γ代入所设的式子中，得到最后结果。
“我来！我来！
x= （x’＋ut’） /√（1… u2/ c2）
和x’=（x…ut） /√（1… u2/ c2）
是吧？”兔子抢先道。
“哎，要不是昨晚请教了爱因斯坦大叔，还背了一个晚上……现在，哪能那么威风呢！其实，上面的东西，俺一点也……”兔子拍拍胸脯。
149楼
好，兔子已经给我们算出了你和它的x坐标之间的转化关系式了。那就是
x'＋ut'
x = －－－－－－－
√（1… u2/ c2）
和
x…ut
x' = －－－－－－－
√（1… u2/ c2）
但是，为了能够真正找出四个坐标的关系，革命还未成功，同志还需努力呀！
我们先来看一下y和z坐标。
注意，兔子是沿着x轴的正方向移动的，可以很容易发现，你和它的y和z坐标都应该是一样的，而只有x坐标存在不同。因此，有这样的关系
y＝y’或y’=y
z=z’或z’=z
那就只剩下时间t了喔。我们已经知道，在伽利略变换式中，你们两个的时间是没有区别的，是一样的，这样的依据就是牛顿的绝对时空观。但是，牛顿究竟对不对呢？这里是应该打个问号的！
思考一下，前面有两个重要的式子——x=ct和x’=ct’！
运用我们的数学知识，既然已经知道了x，而c又是常数，那相当于只剩下一个未知数t，一元一次方程，特简单！
把x、x’代进去，之后把t和t’求出来。
x’＋ut’
－－－－－－－＝ct （１）
√（1… u2/ c2）
x…ut
－－－－－－－＝ct’ （２）
√（1… u2/ c2）
对于第一个式子，由于x’=ct’，或者t’＝x’／c，将这两个关系 代入（１）式中，可以得到
ct’＋ux’/c
－－－－－－－ ＝ct
√（1… u2/ c2）
还可以简单一些，两边都除以c，
t’＋ux’/c2
－－－－－－－ ＝t
√（1… u2/ c2）
这样就可以得到用兔子的坐标来表示的你的t的式子了。
同样的道理，照搬这种方法步骤，可以得到用你的坐标来表示的兔子 的t’的式子，那就是（可以使用一下类比的方法）
t…ux/c2
－－－－－－－ ＝t'
√（1… u2/ c2）
最后，我们将四个坐标都综合起来，看看
x'＋ut'
x = －－－－－－－
√（1… u2/ c2）
y=y’
z=z’
t’＋ux’/c2
t＝ －－－－－－－
√（1… u2/ c2）
和
x…ut
x' = －－－－－－－
√（1… u2/ c2）
y’=y
z’=z
t…ux/c2
t'＝ －－－－－－－
√（1… u2/ c2）
其实，这两组式子也是等价的，只不过带撇的字母写在不同一边而已。
只要用这两组式子的任意一组，你或者兔子就可以轻松地从自己的坐标出发，得到对方的结果啦！
这，就是蜚声四海的洛伦兹变换式！
呵呵，希望你们没有被上面的数学推倒吓倒。
如果你一直看了过来，而且明白了，清楚了，那么祝贺你，你度过了一道难关，你拥有很好的耐性和数学逻辑能力！要是你没有看进去的话，还是不要紧，只要你能够明白这么一个从公理出发的思路，我的目的也就达到了。
这个思路就是：
从狭义相对性原理，我们可以知道所有的物理规律，包括电磁学的，在惯性系都取相同形式，再加上光速不变原理，任何惯性系的观测者测得的光速都是c！这样我们就可以假设一个在两个惯性系来测量光走过距离的情景，主角正好就是你和兔子。因为你们用的规律是一样的，光速又是一样的，这样我们就能够求得你们两个的坐标之间的关系了。而求得关系的过程就是上面的数学推导。
怎样，可以体会到两条原理的基础作用了吗？
至于所得到的洛伦兹变换式，希望你们可以记住，或者最低限度，可以认得它们，当下次见到它时能够有“似曾相识”的感觉。
最后，有一个好消息，在接下来的文章中，将不会再出现如此繁琐、乏味的数学推导了！但是，个别的式子还是难以避免，望诸位有所准备。
回忆一下，我们本来的目的是推广伽利略相对性原理。
现在，我们得到的式子跟伽利略变换式确实是不大相同了。而区别主要在于x和t的式子上。x的表达式多了一个根式分母，这就表明，你和兔子的坐标之间的关系比我们之前所认为的复杂了许多，特别是在高速时就更加明显。而t的表达式更是具有天壤之别，不再是我们曾经信奉的那个绝对时间——在宇宙的任一个地方都是同一个时间！反而是不同惯性系可能就具有各异的时间！
如果再站在经典物理学的立场来看洛伦兹变换式的话，肯定是无法接受的！因为两者的基本出发点都背道而驰了。
其实，这个式子之所以叫做洛伦兹变换式，背后是大有文章的。
早在爱因斯坦之前，洛伦兹就得到了这个式子。（诸位应该不会忘记他和庞加莱差点就捡到了相对论这块蛋糕）
不过，洛伦兹的出发点跟爱因斯坦很不相同。他发现，当把麦克斯韦的方程代入伽利略变换式去变换时，结果得到的式子跟之前的不一样了。换句话说，伽利略变换式不能使得麦克斯韦的方程形式不变！电磁学规律会因为惯性系的不同而不同！
但是洛伦兹从存在绝对静止以太的观念出发，发现了这样一个式子，它能够使得把麦克斯韦的方程代入后形式不发生变化！这就是洛伦兹变换式！但是，洛伦兹得到这个式子更多是凭借数学手段，并不蕴涵爱因斯坦的思想。
然而，让我们感到可笑的是，现在，当我们从爱因斯坦的基础出发，竟然又一次得到了它！
不过，显而易见，它们的外貌虽然没有两样，实质却大大不同了。洛伦兹还停留在绝对时空观，而现在我们已经开始跳出了这一个藩篱。
最后，历史给予了对洛伦兹这一发现的肯定，这组式子被唤做“洛伦兹变换式”。
（说点题外话，不过，这样的讨论可以提高我们对科学的认识和判断。）
从这里我们可以看到这样一个事实——数学走在了物理学的前面。
洛伦兹用数学手段得到了洛伦兹变换式，却不能够诠释它的物理意义。数学提前登上了物理学的舞台。其实，这样的例子是非常多的。
早在爱因斯坦广义相对论来到世上之前，它的数学工具——黎曼几何就呱呱坠地，长大成人；非欧几何的诞生也是在人们对空间认识的变革之前；超弦理论的一些结论就是借助数学上的某些已有公式……
所以说，这种现象是司空见惯的，特别是在物理学高度发展的今天。
出现这种有趣的事情，其实也是可以找到一点原因的。数学追求的更多是逻辑和抽象，它可以不去管它的结论是否符合客观世界。只需逻辑上不出现错误，在数学看来就是正确的。而物理学却必须使得自己的预言、结论和现实相符，否则就被淘汰！从这种角度来说，数学研究的东西可以更多，更加不受限制，它可以在更宽的空间里驰骋飞扬，而可能其中只有一种是真正与实际世界相同。
这种更宽松的环境，使得数学可以更快的发展，因为，它不需要时间去考虑所得究竟符不符合实际。而要知道一个理论是否与实际相符，却是需要相当长的时间的，可能必须等到人类发展到某个阶段，可以做这
