从一到无穷大-第5部分

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　　２、不量尺寸的几何学
　　
　　你在学校里早就与几何学搞得很熟了。在你的记忆中，这是一门量度的科学，它的大部分内容，是一大堆叙述长度和角度的各种数值关系的定理（例如，毕达哥拉斯定理就是叙述直角三角形三边长度的关系的）。然而，空间的许多最基本的性质，却根本用不着测量长度和角度。几何学中有关这一类内容的分支叫拓朴学。
　　现在举一个简单的典型拓扑学的例子，设想有一个封闭的几何面，比如说一个球面，它被一些线分成许多区域。我们可以这样做：在球面上任选一些点，用不相交的线把它们连接起来。那么，这些点的数目、连线的数目和区域的数目之间有什么关系呢。
　　首先，十分明显的一点是：如果把这个圆球挤成南瓜样的扁球，或拉成黄瓜那样的长条，那么，点、线、块的数目显然还和圆球时的数目一样。事实上，我们可以取任何形状的闭曲面，就象随意拉挤压扭一个气球时所能得到的那么曲面（但不能把气球撕裂或割破）一样。这时，上述问题的提法和结论都没有丝毫改变。而在一般几何学中，如果把一个正方体变成平行六面体，或把球形压成饼形，各种数值（如线的长度、面积、体积等）都会发生很大变化。这一点是两种几何学的很大不同之处。
　　我们现在可以将这个划分好的球的每一区域都展平，这样，球就变成了多面体（图13），相邻区域的界线变成了棱，原先挑选的点就成了顶点。
　　这样一来，我们刚才那个问题就变成（本质上没有任何改变）：一个任意形状的多面体的面、棱和顶点的数目之间有什么关系？
　　图14示出了五种正多面体（即所有各个面都有同样多边和顶点）和一个随意画出的不规则多面体。
　　我们可以数一数这些几何体各自拥有的顶点数、棱数和面数，看看它们之间有没有什么关系。
　　数一数以后，我们得到下面的表。　
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　　　多面体名称　│　顶点数Ｖ│　棱数Ｅ　│　面数Ｆ│　Ｖ＋Ｆ　│Ｅ＋２　
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　　　四面体　│　４　│　６　│　４　│　８　│　８　
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　　　六面体　│　８　│　１２　│　６　│　１４　│　１４　
　　───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
　　　八面体　│　６　│　１２　│　８　│　１４　│　１４　
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　　　二十面体　│　１２　│　３０　│　２０　│　３２　│　３２　
　　───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
　　　十二面体　│　２０　│　３０　│　１２　│　３２　│　３２　
　　───────┼─────┼─────┼────┼─────┼────
　　　古怪体　│　２１　│　４５　│　２６　│　４７　│　４７　
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　　前面三栏的数据，乍一看来好象没有什么相互关系。但仔细研究一下，就会发现，顶点数和面数之和总是比棱数大2。因此，我们可以写出这样一个关系式：
　　Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２
　　这个是适用于任何多面体呢，还是只适用于图14上这几个特殊的多面体？你不妨再画几个其它样子的多面体，数数它们的顶点、棱和面。你会发现，结果还是一样。可见，Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２是拓扑学的一个普遍适用的数学定理，因为这个关系式并不涉及到棱的长短或面的大小，它只牵涉到各种几何学单位（顶点、面、棱）的数目。
　　这个关系是十七世纪法国的大数学家笛卡尔（Rene　descartes）最先注意到的，它的严格证明则由另一位数学家欧拉作出。这个定理现在被称为欧拉定理。
　　下面就是欧拉定理的证明，引自古朗特（Rurant）和罗宾斯（H。Robbins）的著作〖数学是什么？〗。我们可以看一看，这一类型的定理是如何证明的。
　　为了证明欧拉的公式，我们可以把给定的简单多面体想象成用橡皮薄膜作成的中空体（图15a）。如果我们割去它的一个面，然后使它变形，把它摊成一个平面（图15b）。当然，这么一来，面积和棱间的角度都会有所改变。然而这个平面网络的顶点数和边数都与原多面体一样，而多边形的数目则比原来多面体的面数少了一个（因为割去了一个面）。下面我们将证明，对于这个平面网络，V’…E＋F=1。这样，在加上割去的那个面以后，结果就成为：对于原多面体，V…E＋F=2。
　　首先，我们把这个平面网络“三角形化”，即给网络中不是三角形的多边形加上对角线。这样，Ｅ和Ｆ的数目都会增加。但由于每加一条对角线，Ｅ和Ｆ都增加１，因此V…E＋F仍保持不变。这样添加下去，最后，所有的多边形都会变成三角形（图15C）。在这个三角形化了的网络中，V…E＋F仍和三角形化以前的数值一样，因为添加对角线并不改变这个数值。
　　有一些三角形位于网络边缘，其中有的（如）只有一条边位于边缘，有的则可能有两条边。我们依次把这些边缘三角形的那些不属于其它三角形的边、顶点和面拿掉（图）。这样，从，我们拿去了边和这个三角形的面，只留下顶点和两条边，从，我们拿去了平面、两条边和顶点。
　　在式的去法中，Ｅ和Ｆ都减少１，但Ｖ不变，因而V…E＋F不变。在式的去法中，Ｖ减少１，Ｅ减少２，Ｆ减少１。因而V…E＋F仍不变。以适当方式逐个减少这些边缘三角形。直到最后只剩下一个三角形。一个三角形有三条边、三个顶点和一个面。对于这个简单的网络，V…E＋F＝3…3＋1=1。我们已经知道，V…E＋F并不随三角形的减少而改变，因此，在开始的那个网络中，V…E＋F也应该等于1。但是，这个网络又比原来那个多面体少一个面，因此，对于完整的多面体，V…E＋F=2。这就证明了欧拉的公式。
　　欧拉公式的一条有趣的推论就是：只可能有五种正多面体存在，就是图14中那五种。


　作者：wyhsillypig　　回复日期：2004…12…25　12：23：00　　

　　如果把前面几页的讨论仔细推敲一下，你可能就会注意到，在画出图14上所示的“各种不同”的多面体，以及在用数学推理证明欧位定理时，我们都作了一个内在的假设，它使我们在选择多面体时受了相当的限制。这个内在假设就是：多面体必须没有任何透眼。所谓透眼，不是气球上撕去一块后所形成的形状。而是象面包圈或橡皮轮胎正中的那个窟窿的模样。
　　这只要看图16就清楚了。这儿有两种不同的几何体，它们和图14所示的一样，也都是多面体。
　　现在我们来看看，欧拉定理对这两个新的多面体适用不适用。
　　在第一个几何体上，可数出16个顶点、32条棱和16个面；这样，V＋F=32，而E＋2=34，不对了。第二个有28个顶点、54条棱和30个面；V＋F=58；E＋2=56，这就更不对了。
　　为什么会这样呢？我们对欧位定理作一般证明时的推理对于这两个例子错在哪里呢？
　　错就错在；我们以前所考虑到的多面体可以看成一个球胆或气球，而现在这种新型多面体却应看成橡皮轮胎或更为复杂的橡胶制品。对于这类多面体，无法进行上述证明过程所必需的步骤－－“割去它的一个面，然后使它变形，把它摊成一个平面。”
　　如果是一个球胆，那么，用剪刀剪去一块之后，就很容易完成这个步骤。对于一个轮胎，却无论如何也不会成功。要是图16还不能使你相信这一点，你找条旧轮胎动手试一试也可以！
　　但是不要认为对于这类较为复杂的多面体，Ｖ，Ｅ和Ｆ之间就没有关系了。关系是有的，说得科学一点，即对于环状圆纹曲面型的多面体，Ｖ＋Ｆ＝Ｅ。而对于那种蜜麻花型的，则Ｖ＋Ｆ＝Ｅ－２。一般说来，Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２－２Ｎ，Ｎ表示透眼的个数。
　　另一个典型的拓扑学问题与欧拉定理密切有关，它是所谓“四色问题”。假设有一个球面划分成若干区域；把这球面涂上颜色，要求任何两个相邻的区域（即有共同边界的区域）不能涂上同一种颜色。问完成这项工作，最少需要几种颜色？很容易看出，两种颜色一般来说是不够用的。因为当三条边界交于一点时（比如美国的弗吉尼亚、西弗吉尼亚和马里兰三州的地图，见图17），就需要三种颜色。
　　要找到需要四种颜色的例子也不难（图17）。这是过去德国吞并奥地利时的瑞士地图。
　　但是，随你怎么画，也得不到一张非得用四种以上颜色不可的地图，无论在球面上还是在平面上都是如此。看来，不管是多么复杂的地图，四种颜色就足以避免边界两边的区域相混了。
　　不过，如果这种说法是正确的，就应该能够从数学上加以证明。然而，这个问题虽经几代数学家的努力，至今仍未成功。这是那种实际上已无人怀疑。但也无人能证明的数学问题的又一个典型实例、现在，我们只能从数学上证明有五种颜色就足够了。这个证明是将欧拉关系应用于国家数、边界数和数个国家碰到一块的三重、四重等等交点数而得出的。
　　这个证明过程太复杂，写出来会离题太远，在这里就不赘述了。读者可以在各种拓扑学的书中找到它，并借以渡过一个愉快的晚上（说不定还得一夜不眠）。如果有谁能够证明无需五种、而只用四种颜色就足以给任何地图上色，或研究出一幅四种颜色还不够用的地图，那么，不论哪一种成功了，他的大名就会在纯粹数学的年鉴上出现一百年之久。
　　说来好笑，这个上色问题，在球面和平面的简单情况下怎么也证不出来；而在复杂的曲面，如面包圈形和蜜麻花型中，却比较顺利地得到了证明。比如，在砚面包圈型中已经得出结论说，不管它怎样分划，要使相邻区域的颜色不至相同，至少需要七种颜色。这样的也做出来了。
　　读者不妨在费点脑筋，找一个充气轮胎，再弄到七种颜色的油漆，给轮胎上漆，使每一色漆块都和另外六种颜色漆块相邻。如果做到这一点，他就可以声称他对面包圈型曲面确实心里“有谱”了。

　　注：四色问题已经于八十年代初借助于计算机的帮助解决了。


３、把空间翻过来
　　到目前为止，我们所讨论的都是各种曲面，也就是二维空间的拓扑学性质。我们同样也可以对我们生存在内的这个三维空间提出类似的问题。这么一来，地图着色问题在三维情况下就变成了：用不同的物质制成不同形状的镶嵌体，并把它们拼成一块，使得没有两块同一种物质制成的子块有共同的接触面，那么，需要用多少种物质？
　　什么样的三维空间对应于二维的球面或环状圆纹曲面呢？能不能设想出一些特殊空间，它们与一般空间的关系正好同球面或环状面与一般平面的关系一样？乍一看，这个问题似乎提得很没有道理，因为尽管我们能很容易地想出许多式样的曲面来，但却一直倾向于认为只有一种三维空间，即我们所熟悉并在其中生活的物理空间。然而，这种观念是危险的，有欺骗性的。只要发动一下想象力，我们就能想出一些与欧几里得几何教科书中所进述的空间大不相同的三维空间来。
　　要想象这样一些古怪的空间，主要的困难在于，我们本身也是三维空间中的生物，我们只能“从内部”来观察这个空间，而不能像在观察各种曲面时那样“从外部”去观察。不过，我们可以通过做几节脑筋操，使自己在征服这些怪空间时不致过于困难。
　　首先让我们建立一种性质与球面相类似的三维空间模型。球面的主要性质是：它没有边界，但却具有确定的面积；它是弯曲的，自我封闭的。能不能设想一种同样自我封闭，从而具有确定体积而无明显界面的三维空间呢？
　　设想有两个球体，各自限定在自己的球形表面内，如同两个未削皮的苹果一样。现在，设想这两个球体“互相穿过”，沿外表面粘在一起。当然，这并不是说，两个物理学上的物体如苹果，能被挤得互相穿过并把外皮粘连在一起。苹果就是被挤成碎块，也不会互相穿过的。
　　或者，我们不如设想有个苹果，被虫子吃出弯曲盘结的隧道。要设想有两种虫子，比如说一种黑的和一种白的；它们互相憎恶，因此，苹果内虫蛀的隧道并不相通，尽管在苹果的皮上它们可以从紧挨着的两点蛀食进去。这样