投资学(第4版)-第56部分

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d　i　a　g　r　a　m）来简化结果，其结果如图1　0　…　1所示。
在图1　0　…　1中，横轴测度了市场指数（超过无风险利率的）的超额收益，竖轴测度
了问题中资产（我们例子中的G　M）的超额收益。一对超额收益（一个是市场超额收
益，一个是G　M的超额收益）组成了散点图中的一点。这些点从第1到第1　2，代表着从
1月份到1　2月份每月的标准普尔5　0　0指数和G　M的超额收益。单指数模型表明，G　M的超
额收益与标准普尔5　0　0指数的超额收益之间的关系由下式给定：
=　
＋
RGM　t　
GM　
GM　RMt　＋　eGM　t　
注意，这一关系类似于回归方程（regression　equation）。
在一个单变量的线性回归等式中，依赖变量标在一条截距为
、斜率为
的直线周
围。假定这条线的偏差e与独立变量不相关；同样，它们相互之间也不相关。这是因
为，这些假定与我们把指数模型看作回归模型的那些假定相当的类似。我们通过
G　M来
测度的G　M对市场的敏感度，它是回归直线的斜率。回归直线的截距是
，它代表了
G　M　

244　第三部分资本市场均衡
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平均的公司特有收益。在任一时期里，回归直线的特定观测偏差记为eG　Mt，称为残值
（r　e　s　i　d　u　a　l　s）。每一个残值都是实际股票收益与由描述股票同市场之间一般关系的回归
等式所预测出的股票收益之间的差异。因此，它们测度了特定期间公司特有事件的影
响。利息参数
、和（e）Va　r，可以用标准回归技术来估计。
单指数模型回归等式的估计给出了证券特征线（security　characteristic　line，S　C　L），　
图1　0　…　1中画出了这条曲线（回归结果和原始数据见表1　0　…　1）。证券特征线是典型的把证
券超额收益作为市场超额收益的函数的图形。
截距
斜率
市场指数超额收益
图10…1　GM的证券特征线（S　C　L）　
表10…1　GM股票的证券特征线
月份G　M收益市场收益月国库券收益G　M超额收益市场超额收益
1　6　。　0　6　7　。　8　9　0　。　6　5　5　。　4　1　7　。　2　4　
2　…2　。　8　6　1　。　5　1　0　。　5　8　…3　。　4　4　0　。　9　3　
3　…8　。　1　8　0　。　2　3　0　。　6　2　…8　。　7　9　…0　。　3　8　
4　…7　。　3　6　…0　。　2　9　0　。　7　2　…8　。　0　8　…1　。　0　1　
5　7　。　7　6　5　。　5　8　0　。　6　6　7　。　1　0　4　。　9　2　
6　0　。　5　2　1　。　7　3　0　。　5　5　…0　。　0　3　1　。　1　8　
7　…1　。　7　4　…0　。　2　1　0　。　6　2　…2　。　3　6　…0　。　8　3　
8　…3　。　0　0　…0　。　3　6　0　。　5　5　…3　。　5　5　…0　。　9　1　
9　…0　。　5　6　…3　。　5　8　0　。　6　0　…1　。　1　6　…4　。　1　8　
1　0　…0　。　3　7　4　。　6　2　0　。　6　5　…1　。　0　2　3　。　9　7　
11　6　。　9　3　6　。　8　5　0　。　6　1　6　。　3　2　6　。　2　5　
1　2　3　。　0　8　4　。　5　5　0　。　6　5　2　。　4　3　3　。　9　0　
中值0　。　0　2　2　。　3　8　0　。　6　2　…0　。　6　0　1　。　7　5　
标准差4　。　9　7　3　。　3　3　0　。　0　5　4　。　9　7　3　。　3　2　
回归结果rG　M　…rt　＝　＋　（rM　…rt）　

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第10章单指数与多因素模型
245
（续）
月份G　M收益市场收益月国库券收益G　M超额收益市场超额收益
估计系数…2　。　5　9　0　1　。　1　3　5　7　
估计的标准差（　1　。　5　4　7　）　（　0　。　3　0　9　）　
变量残值＝1　2　。　6　0　1　
残值的标准偏差＝3　。　5　5　0　
R2＝0　。　5　7　5　
当然，由于持有期收益的这个样本实在太小，以至我们不能理想地统计收益率。
我们只用它来作证明。我们发现，对于这个样本期间，G　M股票的贝塔系数由回归曲
线的斜率估计出，为1　。　1　3　5　7。另外，证券特征线S　C　L的截距为每月…2　。　5　9％。
对于每个月t，我们的残值估计et是从证券特征线S　C　L的预测中得到的G　M　超额收
益的方差，它等于：
方差＝实际收益…预期收益
eG　Mt　＝RG　Mt　…（　
G　MRM　t＋　
G　M）　
这些残值是G　M普通股收益中每月非预期的公司特有成分的估计。因此，我们可
以用以下式子来估计公司特有方差：＇　1　＇　
2　
（eGM　）　=　
1　。　12　
et　
2　=　12。60　
10　t　=1　
G　M收益的公司特有成分的标准差
（eG　M）每月为
12。60　
=　3。55％　，它与回归残值的
标准偏差相等。
10。1。3　指数模型与分散化
由夏普＇2＇　首先建立的指数模型也提供了资产组合风险分散化的另一个视角。假定
我们选择有n个证券的等权重资产组合。每个证券的超额收益率由下式给出
Ri　=　
＋
i　
iRM　＋　ei　
相似地，我们可以把股票资产组合的超额收益写成
（1　0　…　5）
RP　=　
P　＋　
P　RM　＋　eP　
现在我们说明，随着资产组合中包括的股票数目的增多，归因于非市场因素的资
产组合风险部分将变得越来越小，这部分风险被分散掉了。相比较，市场风险依然存
在，无论组成资产组合的公司数目有多少。
为了理解这些结论，我们注意到等权重（每种资产权重wi　＝1　/n）资产组合的超额
收益率为
11
RP　=。（n）　wiRi　=。（n）　Ri　=　
1　。（n）　（
＋　
（1　0　…　6）
i　
iRM　＋　ei　）　=　。　n　
＋。。　1　。　n　
i　÷　
。　
。　
RM　＋　
1　。　n　
ei　
i　=1　ni　=1　ni=1　ni　=1　
i　è　ni=1　ni=1　
比较等式1　0　…　5和1　0　…　6，我们看到资产组合对市场的敏感度由下式给出
n
1　
=。
P　
i　
ni=1　
它是单个
i的平均值。同时，资产组合有一个常数（截距）的非市场收益成分
＇1＇　由于et　的均值为零，et2是该均值的平方差。因此，et　
2的平均值是公司特有成分的方差估计。我们把方
差残值的总和除以回归自由度n－2＝1　2－2＝1　0，得出
2（e）的无偏估计。
＇2＇　William　F。　Sharpe，
“A　Simplified　Model　of　Portfolio　Analysis”，Management　Science，January　1963。　

246　第三部分资本市场均衡
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n
1　
=。
P　
i　
ni　=1　
它是单个阿尔法的平均值。加上零均值变量
1　
eP　=。（n）　ei　
ni　=1　
它是公司特有成分的平均值。因此，资产组合的方差为：
2　
（eP　）　（1　0　…　7）
=　
P2
P2M2＋　
22　
p
我们定义资产组合方差的系统风险成分为依赖于市场运动的部分，即
M　，它
也依赖于单个证券的敏感度系数。这部分风险依赖于资产组合的贝塔和
M2，不管资
产组合分散化程度如何都不会改变。无论持有多少股票，它们在市场中暴露的一般风
险将反映在资产组合的系统风险中。＇　1　＇　
相比较，资产组合方差的非系统成分是
2（eP），它来源于公司特有成分ei。因为这
些ei是独立的，都具有零期望值，所以平均法则可以被用来得出这样的结论：随着越
来越多的股票加入到资产组合中，公司特有风险倾向于被消除掉，结果只剩下越来越
小的非市场风险，这些风险被认为是可分散的（d　i　v　e　r　s　i　f　i　a　b　l　e）。为更准确地理解这一
点，考虑有公司特有成分的等权重“资产组合”的方差公式。因为ei是不相关的，
（eP　）　=。　n　12　
（ei　）　=　
22　
（e）　
1n
。　
è　
。　
。　
2i=1n　
这里
2（e　）是公司特有方差的均值。由于这一均值独立于n，所以当n变大时，
2（eP）就变得小得可以忽略了。
简而言之，随着分散化程度的加强，资产组合的方差接近于系统方差。系统方差
定义为市场因素的方差乘以资产组合敏感系数的平方
P2。图1　0　…　2对此作了说明。
可分散的风险
系统风险
图10…2　单因素经济中有风险系数
的资产组合的方差
图1　0　…　2说明，随着越来越多的证券组成资产组合，由于分散了公司特有风险，资
产组合的方差下降。然而，分散化的能力是有限的。甚至对于一个相当大的n，仍然
存在着部分风险，因为所有资产实际上仍暴露于一般或市场的因素之上。因此，我们
＇1＇　当然，我们可以通过把具有负
值和具有正
值的资产组合在一起来构造零系统风险的资产组合。我们
讨论中的这一点是说绝大多数证券具有正的
值，即对数量巨大的资产但持有头寸很小的充分分散化
的资产组合，确实具有正的系统风险。

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第10章单指数与多因素模型
247
说系统风险是不可分散的。
这一分析得到了实证证据的支持。我们在图8　…　2中看到了资产组合分散化对组合
标准差的影响。这些经验的结果与图1　0　…　2中所给出的理论图形是相似的。
概念检验
问题2：重新考虑概念检验问题1中的两支股票。假定我们组成A和B的等权重资产
组合，那么，该资产组合的非系统标准差是多少？
10。2　资本资产定价模型与指数模型
10。2　1　实际收益与期望收益
资本资产定价模型是一个很好的模型。问题是它是否具有现实世界的价值—它
的含意是否由经验得来。第1　3章对此给出了一定的经验证据，在这里，我们现在要扼
要地重点讨论更基本的问题：资本资产定价模型在原则上是否可以检验？
首先，资本资产定价模型的核心预言是，市场资产组合是一个均方差有效的资产
组合。考虑资本资产定价模型处理的所有可交易的风险资产。为了验证C　A　P　M市场资
产组合的有效性，我们需要构造一个规模巨大的市值权重的资产组合并检验其有效性。
到目前为止，这一任务仍不可行。但是，一个更困难的问题是，资本资产定价模型暗
示了各种期望收益之间的关系，而所有我们可以观察到的只是实际的或已实现的持有
期间的收益，并且它们并不需要等于先前的预期值。我们甚至可以假设构造一个资产
组合来完满地代表C　A　P　M　市场资产组合，那么我们如何来检验它的均方差的有效性
呢？我们不得不说明，市场资产组合的酬报…波动性比率比其他任何资产组合都高。
然而，这一比率是在期望的意义上建立的，我们还没有直接观测这些预期的方法。
当我们试图建立资本资产定价模型预言的第二个关键点的有效性时，测度预期的
问题也同期望收益…
关系一样，经常缠绕着我们。期望收益…
关系也是根据期望收益
E（ri）与E（rM）定义的：
E（ri　）　=　rf　＋　
i　＇　E（　rM　）　…　rf　＇　（1　0　…　8）　
结果是，同资本资产定价模型的简单与深入一样，我们必须提出附加的假定条件，
以使它可以起作用并可以检验。
10。2。2　指数模型与已实现的收益
我们已经指出，资本资产定价模型是关于预期收益的论断，然而实际上，任何人
都可以直接观察到已实现的收益。为了使期望收益变成已实现收益，我们可以运用指
数模型。我们把超额收益写成下列形式
Ri　=　
＋　
iRM　＋　ei　（1　0　…　9）　
我们在1　0　。　1节中已知如何应用标准回归分析，利用某样本期间的可观测实现收益
来估计等式1　0　…　9。我们现在来看，统计上分解成股票实际收益的这个结构如何与资本
资产定价模型接合。
我们从股票i的收益与市场指数收益之间的协方差开始我们的分析。通过定义，公
司特有的或非系统的成分独立于整个市场的或系统的成分，即C　o　v　（RM，ei）＝0，从这
一关系导出证券i的超额收益率与市场指数的协方差为
i　
2
Cov（　Ri　；　RM　）　=　Cov（　
iRM　＋　ei　；　RM　）　=　
i　Cov（　RM　；　RM　）　＋　Cov（　ei　；　RM　）　=　
iM　
注意，我们可以把
从协方差项中提出来，因为
是一个常数，它与所有变量有
零协方差。
因为C　o　v　（Ri，RM）＝　
i　
i　
iM2，等式1　0　…　9中的敏感度系数
代表指数模型的回归线的斜
率，它等于
i　

248　第三部分资本市场均衡
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Cov（　Ri　；　RM　）　
=　
i　2　
M　
指数模型贝塔系数的结果与资本资产定价模型期望收益…贝塔关系的贝塔相同，
除非我们重新安排带有特定的可观测市场指数（理论的）的C　A　P　M市场资产组合。
概念检验
问题3：下列贝塔值描述了满足单指数模型的一个有三支股票的金融市场。
股票资本/美元值平均超额收益（％）标准差（％）
A　3　000　1　。　0　1　0　4　0　
B　1　940　0　。　2　2　3　0　
C　1　360　1　。　7　1　7　5　0　
这个经济中的单因素与市值权重的股票市场指数完全相关。市场指数资产组合的
标准差为2　5％。
a。　指数资产组合的平均超额收益为多少？
b。　股票A和指数之间的协方差为多少？
c。　把股票B的方差分成它的系统和公司特有成分。
10。2。3　指数模型与期望收益…贝塔关系
回忆起资本资产定价模型的期望收益…贝塔关系为，对任意资产i和（理论的）市
场资产组合，有
E（ri　）　…　rf　=　
i　＇　E（rM　）　…　rf　＇　
这里
＝C　o　v　（Ri，RM）　/　
M2。这显示了相对于（理论的）市场资产组合平均超