投资学(第4版)-第35部分

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样本规模1　227　—　131　072　—　32　768　—　16　384　—　
资料来源：Lawrence　Fisher　and　James　H。　Lorie；　“　Some　Studies　of　Variability　of　Returns　on　
Investments　in　mon　Stocks；”　Journal　of　Business　43（April　1970）。　
＇1＇　Paul　A。　Samuelson；“The　Fundamental　Approximation　Theorem　of　Portfolio　Analysis　in　Terms　of　Means；　
Variances；　and　Higher　Moments；”Review　of　Economic　Studies　37　（1970）。　

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第6章风险与风险厌恶
147　
6A。2　正态分布与对数正态分布
现代资产组合理论在很大程度上假设资产收益是呈正态分布的。这是一个简便的
假设，因为用均值与方差完全可以描述正态分布，与均值…协方差分析相一致。一个基
本观点是即便单个资产的收益不是完全正态的，一个大型资产组合收益的分布却会与
正态分布非常相似。
数据证实了这种论点。表6　A　…　1显示了从纽约证券交易所上市股票中随机抽查的许
多资产组合的一年期投资结果。资产组合按分散化程度不断增加的顺序列出，即每种
资产组合样本的股票数目是1，8，3　2，1　2　8。每种资产组合收益分布的百分位数与人
们期望的正态分布的资产组合进行了比较，它们的均值与方差是相同的。
首先来看单只股票的资产组合（n＝1），它的收益分布离正常值很远。样本的均
值是2　8　。　2％，标准差为4　1　。　0％。在有相同的均值与标准差的正态分布中，我们预期第5　
百分位数的股票损失3　9　。　2％，但它实际上损失了1　4　。　4％。而且，虽然正态分布的均值与
其中值正好一致，但单只股票实际的样本中值却是1　9　。　6％，大大低于样本均值2　8　。　2％。
相反地，1　2　8只股票资产组合的收益分布与假设的正态分布的资产组合基本上是一样
的。因此，对于十分分散的资产组合而言，正态分布是一个恰如其分的假设。持有多大
的资产组合才能达到这种结果取决于单个股票的收益分布离正常值有多远。从表中显示
的情况看，一个资产组合通常必须包括至少3　2只股票，其一年期收益才能接近正态分布。
单只股票收益正态分布的假设还存在理论上的缺陷。假定股票价格不能是负的，
正态分布就不能真正代表持有期收益率的情况，因为它允许有任何结果，包括全部股
票的价格为负。特别要指出的是，低于…1　0　0％的收益率在理论上是不可能的，因为它
意味着存在负的证券价格的可能性。正态分布不能排除这样的结果应当视为一种缺陷。
另外一个假设是，连续复利年收益率是正态分布的。如果我们把该比率用r表示，
有效年收益率用re表示，那么re　＝er…1，因为er永远不可能是负的，re最小的可能值是…1，　
或…1　0　0％。因此，这种假设巧妙地排除了负价格的可能性，同时还保持了使用正态分布
的好处。在这种假设下，re的分布就将是对数正态分布。图6　A　…　2描述了这种分布。
图6A…2　三种标准差值的对数正态分布
资料来源：J。　Atchison　and　J。　A。　C。　Brown；　The　Lognormal　Distribution（New　York：　Cambridge　
University　Press；　1976）。　

148　第二部分资产组合理论
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re（t）表示投资期限为t的有效收益率。持有期限短，即t很小时，re（t）＝ert…1的近似
值非常精确，并且正态分布非常近似于对数正态分布。由于rt　是正态分布的，短期内
的有效年收益可以看成是近似于正态分布的。
因此，短期持有时，有效持有期收益的均值与标准差与年连续复利的股票收益率
的均值与标准差以及时间间隔是成比例的。
所以，如果一只股票的年连续复利收益率的标准差为4　0％（　
＝0　。　4　0，　
2＝0　。　1　6），　
那么，譬如由于特定目的持有期为1个月的收益的方差就是：
2（月）＝　
2/　1　2＝0　。　1　6　/　1　2＝0　。　0　1　3　3　
月标准差是（　0　。　0　1　3　3　）1　/　2＝0　。　11　5　5。
为说明这个原理，假定道·琼斯工业平均指数一天上升5　0　点，从8　400　点升至8　
4　5　0。这个涨幅“很大”吗？看一看道·琼斯资产组合年连续复利率，我们发现战后
年平均标准差为1　6％。假定道·琼斯资产组合收益是对数正态分布且连续分期之间的
收益负相关，一天期收益分布的标准差（按每年2　5　0个交易日计算）为：
2（日）＝（　
年）　（　1　/　2　5　0　）1　/　2＝0　。　1　6　/　（　2　5　0　）1　/　2＝0　。　1　0　1＝1　。　0　1％（每日）
将此结果应用于道·琼斯交易日开市时的水平8　400　点，我们发现道·琼斯指数的
日标准差为8　400　×0　。　1　0　1＝8　4　。　8点。如果道·琼斯资产组合的日收益率是近似于正态
分布的，我们知道三天中有一天道·琼斯指数的变动将会大于1％。因此5　0点的变动就
不值得大惊小怪。
概念检验
问题6　A　…　2：再来看表6　A　…　1。资产组合越分散，其最小收益率就越不可能为负，你
对此会感到奇怪吗？你的解释与样本的最大收益率情况相一致吗？
小结：附录6　A　
1。　收益率的概率分布可以用矩差表示。一阶矩差，即收益分布的均值，可以用来
测度风险的报酬。较高阶矩差是有风险的特征，偶数矩差传达了可能有极端值的信息，
而奇数矩差表示收益分布的不对称。
2。　投资者对各种分布矩差的偏好表明了他们对风险的态度。基本的近似法表明，
频繁更换资产组合时，价格是持续的，理想的资产组合只用均值与方差估算就行了。
3。　持有期不是太长且十分分散的资产组合的收益率近似于正态分布。持有期限短
时（一个月以上），正态分布非常接近于对数正态分布。
习题：附录6　A　…　1　
1。　机智股票投资咨询公司为K　L公司的股价与年终红利作了以下的情景分析，K　L　
公司的股票现在售价为每股1　2美元。
年末
情景概率红利/美元价格/美元
1　0　。　1　0　0　0　
2　0　。　2　0　0　。　2　5　2　。　0　0　
3　0　。　4　0　0　。　4　0　1　4　。　0　0　
4　0　。　2　5　0　。　6　0　2　0　。　0　0　
5　0　。　0　5　0　。　8　5　3　0　。　0　0　
计算每一情景的收益率与：
a。　均值、中值和众值。
b。　标准差和绝对均差。

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第6章风险与风险厌恶
149
c　。均值的一阶矩差、二阶矩差与三阶矩差，K　L公司股票价格的概率分布是正态的
吗？
概念检验问题6　A　1与6　A　2答案
6A1。　投资者对极端的结果比对一般的结果更敏感，这是方差与更高阶的偶数矩差
所不能解释的。随机的证据表明，投资者迫切地为极端的损失寻求可能的保险，并对
有高度正偏度的概率事件极为乐观。但是，这个假定却很难通过理性控制的实验加以
证明。
6A2。　资产组合越分散化，其标准差就越小，如表6　A　…　1中样本标准差所示。当我
们根据标准差较小的概率分布画图时，极端值的概率下降。因此，随着标准差变小，
预期样本中的最小值与最大值都更接近于均值，这一预期可由表6　A　…　1中的样本的最大
与最小年利率得以证明。
附录6B　风险厌恶与预期效用
投资者厌恶风险是我们讨论的出发点，在此我们将离开前面的主题，考察这一观
点背后的基本原理。认为风险厌恶是投资决策的中心的看法至少可以追溯到1　7　3　8年。
丹尼尔·贝诺里（Daniel　Bernoulli）是出身于瑞士名门的著名数学家，他于1　7　2　5年到
1　7　3　3年在圣彼得堡研究下述的投币游戏。参加这个游戏要先付门票，其后，抛硬币直
到第一个正面出现时为止。在此之前，反面出现的次数（用n表示）用来计算参加者
的报酬R美元：
R（n）＝2n　
在第一个正面出现之前反面一次也没出现的概率（n＝0）是1　/　2，相应的报酬为20＝　
1美元。出现一次反面才出现正面的概率（n＝1）是1　/　2×1　/　2，报酬为21＝2美元，出现
两次反面才出现正面的概率（n＝2）是1　/　2×1　/　2×1　/　2，余此类推。
下表列出了各种结果的概率与报酬：
反面概率报酬＝R（n）/美元概率×报酬/美元
0　1　/　2　1　1　/　2　
1　1　/　4　2　1　/　2　
2　1　/　8　4　1　/　2　
3　1　/　1　6　8　1　/　2　
。　。　。　。　
。　。　。　。　
。　。　。　。　
n　（1/2）　n＋　1　2n　1　/　2　
所以，预期报酬为：
E（　R）　=。（￥）　Pr（　n）　R（n）　=1/　2　＋1/2＋×××=
￥　
n=0　
对该游戏的评价被称为“圣彼得堡悖论”。尽管预期报酬是无限的，但显然参加
者愿意买票玩这个游戏的花费是有限度的，可能非常有限，只是入门费而已。
贝诺里发现投资者赋予所有报酬的每个美元的价值是不同的，并由此解决了悖论
问题。特别地，他们的财富越多，就越不在乎每一个增加的美元。通过给拥有各种财
富水平的投资者一个福利值或效用值，我们能够用数学方法精确地表达这种观点。随
着财富的增多我们的效用函数也应增大，但是财富每增加1个美元所增加的效用的数
量应该逐渐减少＇1＇（现代经济学家会说投资者每增加一美元的报酬的“边际效用递减”）。
＇1＇　这种效用类似于在给定风险与收益特性下的资产组合的满意程度。但是，这里的效用函数并不涉及投资者对
可供选择的资产组合选择的满意程度，而仅仅涉及他们从不同财富水平中得到的主观福利程度。

150　第二部分资产组合理论
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一个特殊的函数l　o　g（R）赋予报酬为R美元的投资者一个主观价值，报酬越多，每个
美元的价值就越小。如果用这个函数测度财富的效用值，该游戏的主观效用值的确是
有限的＇　1　＇。获得该效用值所必需的财富为2美元，因为l　o　g（2）＝0　。　6　9　3。因此，风险报
酬的确定等价物是2美元，是投资者参加游戏付出的最高价钱。
1　9　6　4年，冯·纽曼（Von　Neumann）与摩根斯坦（M　o　rg　e　n　s　t　e　r　n）以完全公理的体
系将此方法应用于投资理论，避开不必要的技术细节，我们在此只论及对风险厌恶基
本原理的直感。
设想有一对同卵双胞胎，其中一个比另外一个穷。彼得名下只有1　000美元，而鲍
尔却拥有2　0万美元。他们各自愿意工作多少小时去再挣一美元？似乎彼得（穷兄弟）
比鲍尔更需要这一美元。所以彼得愿意付出更多的时间。也就是说，与鲍尔得到第
200　001　美元相比，彼得得到了更多的个人福利或赋予第1　001　美元更大的效用值。图
6　B　…　1用图形描述了财富与财富效用值的关系，它与边际效用递减的概念是一致的。
每个人的财富边际效用递减率各不相同。每增加一个美元，财富的效用值随之减
少却是一个固定不变的原理。表示随着财产数量的增加每个单位的价值递减的函数称
之为凹函数。中学数学中的对数函数就是一个简单的例子。当然，对数函数并不适于
所有的投资者，但与风险厌恶是一致的，我们假定所有的投资者都是风险厌恶型的。
图6B…1　对数效用函数的财富效用
现在考虑以下的简单情景：
p＝1/2　150　000美元
100　000美元
1…p＝1/2　50　000　美元
这是一个预期利润为零的公平游戏。但是，假定图6　B　…　1代表投资者的财富效用值，
且为对数效用函数。图6　B　…　2显示了用数值标出的曲线。
图6　B　…　2表明因损失5万美元造成的效用减少超过了赢利5万美元形成的效用增加。
先考虑效用增加的情况。概率p＝0　。　5时，财富从1　0万美元增加到1　5万美元。利用对数效
＇1＇　如果我们用支付的美元R来取代效用值l　o　g　（R），获得游戏的期望效用值（而不是期望美元值），我们可以
有期望效用值的上限V（R），即
V　（R）　=。（￥）　Pr（　n）log＇　R（　n）＇　=。（￥）　
（　1　
2）n　＋1　
log（2　n　）　=　0。693　
n　=0　n　=0　

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第6章风险与风险厌恶
151
用函数，效用从l　o　g（100　000）＝11　。　5　1　增加到l　o　g（150　000　）＝11　。　9　2　，即图上的距离G。
增加的部分G＝11　。　9　2…11　。　5　1＝0　。　4　1。按期望效用计算，增加值pG＝0　。　5×0　。　4　1＝0　。　2　1。
图6B…2　公平游戏与期望效用
现在考虑另一端的情况。在这种情况下，财富从1　0万美元降到5万美元。图中的
距离L是效用的损失，L＝l　o　g（100　000）…l　o　g（50　000）＝11　。　5　1…1　0　。　8　2＝0　。　6　9。因而
预期效用的损失为（1…p）L＝0　。　5×0　。　6　9＝0　。　3　5，它大于预期效用的增加。
我们计算风险投资的预期效用：
E＇U（W）　＇＝p　U（W1）　＋　（　1…p）U（W2）＝1/2log（50　000）＋1/2log（150　000）＝11　。　3　7　
如果该投资遭到拒绝，1　0万美元的效用值为l　o