投资学(第4版)-第178部分
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所有面积加总为1 。 0。a和b正好为正值，因此它们在期望值的右侧。最左边的区域是密
度函数中z≤a的部分，因此这部分面积就是a的累积分布，也就是z≤a的概率。中间的
区域是a与b之间的密度面积。如果我们把这部分面积加上a的累积分布，我们就得到
了到达b的总密度面积，也就是z落在b左边的概率。于是a、b之间的面积即为z落在a和
b之间的概率。
利用相同的逻辑，我们找到了z》b的概率。我们已经知道z≤b的概率为N（b）。由
于复合事件“小于等于b”和复合事件“大于b”是互斥的而且是完全的（指两个事件
包含了所有可能的结果），因此他们的概率之和为1 。 0；于是要计算z》b的概率，我们只
要简单地用1减去z≤b的概率即可。正式地，我们有：P r（z》b）＝1…N（b）
让我们再来看图A … 1，密度函数下b到正无穷之间的区域面积就是密度函数整个面
积（等于1）与负无穷到b之间面积的差。
正态密度函数已经足够地复杂，以至于它的累积函数（即其积分）并没有一个很
精确的显式解。它必须求助于近似方法才能得到。就像本书中表2 1 … 2那样，我们已经
把任何z值所对应的N（z）值求了出来，并制成表供查询。
为了进一步说明问题，下面我们计算标准正态分布的概率：
P r （z≤…0 。 3 6 ）＝N（…0 。 3 6 ）＝z小于等于…0 。 3 6的概率
P r （z≤0 。 9 4 ）＝N（ 0 。 9 4 ）＝z小于等于0 。 9 4的概率
P r （…0 。 3 6≤z≤0 。 9 4 ）＝N（ 0 。 9 4 ）…N（…0 。 3 6 ）＝z落在区间＇…0 。 3 6，0 。 9 4 ＇之间的概率
P r （z》 0 。 9 4 ）＝1…N（ 0 。 9 4 ） =z大于0 。 9 4的概率
752 第八部分附录
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利用表2 1 … 2的标准正态累积函数（有时也称为正态分布面积）和图A … 2，我们得
到：
N（…0 。 3 6）＝0。359 4
N（0 。 9 4）＝0。826 4
如图A … 2所示，…0 。 3 6和0 。 9 4之间的面积就是z落在＇…0 。 3 6，0 。 9 4 ＇之间的概率，因此
有：
P r （…0 。 3 6≤z≤0 。 9 4 ）＝N（ 0 。 9 4 ）…N（…0 。 3 6 ）＝0 。 8 2 6 4…0。359 4＝0 。 4 6 7 0
z大于0 。 9 4的概率就是图A … 2中0 。 9 4与正无穷大之间的面积。它等于整个面积与负
无穷大到0 。 9 4之间面积的差。因此有：
P r（z》 0 。 9 4）= 1…N（0 。 9 4）＝1…0。826 4＝0。173 6
最后，还有一个问题，如果z小于等于a的概率为p，那么a的值为多少？
我们假定得到a的函数为Ф（P），于是就有：
如果Ф（P）＝a，则P＝N（a） （ A … 7 ）
比如说，假设现在的问题是：累积密度为0 。 5的值为多少？只要看一下图A … 2，我
们就知道负无穷到零（即期望值）之间的面积为0 。 5，于是我们就有：
Ф（0 。 5）＝0 因为N（ 0 ）＝0 。 5
同样地
Ф（0。826 4）＝0 。 9 4
因为
N（ 0 。 9 4 ）＝0。826 4和Ф（0。359 4）＝…0 。 3 6
我们可以验证一下。从表2 1 … 2中得出Ф（0。655 4）＝0 。 4，这意味着具有累积分布
密度为0。655 4的值是z＝0 。 4 0。
图A…2 概率与累积正态分布
非标准正态分布：假定某种股票的月收益大致服从均值为0 。 0 1 5 （每月1 。 5％）、标准
差为0 。 1 2 7 （每月1 2 。 7％）的正态分布。那么在某月中收益率小于零的概率为多大？注意
由于收益率为服从正态分布的随机变量，它的累积分布密度就可以用数字方法得到。
标准正态分布表可以应用于任何一个正态分布的变量。
任一个随机变量x，可以通过下式而替换成一个新的标准化的随机变量x*：
x … E（ x ）
x* = A…8
（ x ）
注意，我们对x所做的步骤是：（1）减掉期望；（2）乘以标准差的倒数1 / ＇ （x） ＇。
根据我们前面的讨论，对随机变量来说，加上和乘以一个常数的替换效果就是使替换
后的随机变量具有零均值和单位方差。
E（ x*） =
E（ x ） … E（ x ）
（ x）
= 0； （ x*） =
（ x ）
（ x ）
= 1 A…9
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附录A 定量计算的复习
753
从正态分布的固有性质我们知道，如果x服从正态分布，那么x*也服从正态分布。
一个正态分布的随机变量可以由两个参数完全确定：它的期望与标准差。对于x*来说，
它们分别为0与1 。 0。当我们对一个随机变量减去其期望然后再除以其标准差以后，我
们就把它标准化了。也就是说，我们把它转化成了一个服从标准正态分布的随机变量。
这个方法在对正态分布（近似正态分布）随机变量进行处理上应用得非常广泛。
回到我们先前考虑的股票。我们知道如果把月收益率减去0 。 0 1 5，然后再除以
0 。 1 2 7，所得的随机变量就是服从标准正态分布的。我们现在可以确定某月收益率小于
等于零的概率。我们知道，有
r …0。015
z =
0。127
其中r为股票的收益率，z服从标准正态分布。所以，如果r＝0，z就应该为：
0 …0。015
z（ r =0） = =…0。1181
0。127
当r＝0时，相应的标准化随机变量z＝…11 。 8 1％，为一负数。“r小于等于零”的事
件应与“z小于等于…0 。 118 1 ”等价。计算后者的概率就能够解出我们要求的问题。它
的概率即为N（…0 。 118 1 ），利用标准正态表我们得到：
P r（r≤0）=N（…0 。 118 1 ）＝0 。 5…0 。 0 4 7＝0 。 4 5 3
结果很有意义。回忆起r的期望值为1 。 5％。所以，由于r小于等于1 。 5％的概率为0 。 5，
r小于等于0的概率应该接近于0 。 5，但可能会再低一些。
置信区间：由于我们的股票具有较大的标准差，因此我们有理由去怀疑月收益率
绝对数值的可靠性。对于这个问题，一种量化的回答方法可以解决：“如果某股票收
益率落在某区间的概率为9 5％，那么该区间是什么？”这个区间也被称作9 5 ％的置信
区间。
一种符合逻辑的区间是以期望值为其中心的，因为r本身就是关于期望值对称的
正态分布随机变量。把所求区间记为
＇E（r）…a，E（r）＋a＇＝＇ 0 。 0 1 5…a，0 。 0 1 5＋a＇
它的区间长度为2a。r落在此区间内的概率可用下式表出：
P r （ 0 。 0 1 5…a≤r≤0 。 0 1 5＋a）＝0 。 9 5
要解决这个问题，我们首先从标准正态分布的随机变量入手。服从标准正态分布
的随机变量具有零期望与单位方差。
标准正态分布随机变量z的9 5％置信区间是什么？由于变量的分布关于零对称，因
此上面的计算式变为：
P r （ …a * ≤ z ≤ a 0 ） = N
（a*）…N（…a0）= 0 。 9 5
图A … 3有助于你对上式累
积分布差所代表的意义有更好
的了解。落于此区间外的概率
为1…0 。 9 5＝0 。 0 5。由于正态分
布的对称性，z小于等于…a*的
概率为0 。 0 2 5，而且z≥a*的概
率亦为0 。 0 2 5。于是我们可以图A…3 置信区间与标准正态分布
用下式来解出a*：
…a*＝Ф（0 。 0 2 5），其等价于N（…a*）＝0 。 0 2 5
我们可以对这个解决思路作如下总结。如果我们要寻找一个置信水平为9 5％的置
信区间，我们可以定义为r落于置信区间之外的概率。由于具有对称性，
的一半就是
第八部分附录
754
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其落于置信区间右端的概率。同时其落于置信区间左端的概率亦为
/ 2。所以与P之间
的关系为：
=1…P＝0。05
/ 2＝（ 1…P） / 2＝0 。 0 2 5
我们这里使用
/ 2的原因就是考虑到分布的两个尾部把r以外的区域平分了。不含r
值的任一尾部都具有
/ 2的面积。值
=1…P表示的是不含r值所有区域的面积。
为了确定标准正态分布随机变量的置信区间下边界z＝Ф（a/ 2）。我们通过标准正
态累积分布值0 。 0 2 5来确定z 值。查表得z = …1 。 9 6 ，于是我们推断出…a* ＝ …1 。 9 6 ，
a*=1 。 9 6，z的置信区间为：
。
。ù
é
êE（z） …F。
=＇…F（0。025）；f（0。025）＇=＇…1。96；1。96＇
è2 。； E（z） ＋Fè
。
2 。ú
。 。
为了得到非标准正态分布随机变量r的区间边界，我们只要利用关系式r＝z
（r）＋
E（r）＝Ф（
信区间的中心，然后以其一定数量的标准差向两边拓展。标准差的数量取决于我们允
许其落于置信区间之外的概率（
/ 2 ） （r）＋E（r）来转化z的边界即可。注意，我们迄今为止都是设期望值为置
），或者就是其落于置信区间的概率（P）。通过加减
1 。 9 6 （即z=±Ф（0 。 0 2 5）），我们得到期望值两边的距离为±1 。 9 6×0 。 1 2 7＝0 。 2 4 9，于是
我们得到了置信区间：
。ù
é
êE（r） … （r）Fè
。
2 。
。 ； E（r） ＋ （r） Fè
。
2 。ú =＇ E（r） …0。249； E（r ） ＋ 0。249＇ =＇…0。234；0。264＇
。
。
= （ r） … （ r）Fpr E
é 。
。ù
。ê è 2 。
。
≤r ≤E（ r） ＋ （ r）Fè
。
2 。。ú
以满足于P =1…
对于我们的股票（期望值为0 。 0 1 5，标准差为0 。 1 2 7）来说，也就是：
P r ＇…0 。 2 3 4≤r≤0 。 2 6 4 ＇＝0 。 9 5
注意到由于股票收益率的标准差较大，9 5％的置信区间的宽度竟达到了4 9％。
利用该例的一个变体，我们再复习一下计算过程。假设我们要求一个资产组合年
收益9 0％的置信区间，其年收益率的期望值为1 。 2％。标准差为5 。 2％。
该例的解为：
（ r）Fè
。1 … P。ù
Pr
é
êE（r） … （r） Fè
。1 …P 。
≤rp≤E（ r） ＋
。
2 。
2 。。ú
= Pr＇0。012…0。052 ′1。645≤rp≤0。012 ＋0。052 ′1。645＇
= Pr＇ …0。073 5 ≤rp≤0。0975＇= 0。90
因为该资产组合的风险较低，而且我们要求落于所求区间的概率为9 0％ （而非
9 5％），所以该置信区间的宽度仅为2 。 4％
对数正态分布：采用正态分布来描述股价及收益率存在着两个不足。首先，尽管
正态分布允许随机变量取任何值（包括负值），但实际的股价不可能为负。其次，正
态分布不适于计算复利。而对数正态分布解决了这两个问题。
对数正态分布描述了一个不断增长的随机变量，它的增长率为一正态随机变量。
因此，一个对数正态分布随机变量的生成过程反映了连续计算复利的特征。
假定某股票以年连续复利（Annual Continuously pounded，A C C）计算的收
益率服从正态分布，且其期望值为
美元，利用连续复利（参见第5章附录），如果年复利rc ＝0 。 2 3，则年末的股价应为：
＝0 。 1 2，标准差为
＝0 。 4 2，年初的股价为P0 ＝1 0
P1 ＝P0 ex p （rc）＝1 0e0 。 2 3＝1 2 。 5 8 6美元
其等价的有效年利率为
r =
P1 … P0 =e rc …1 =0。2586 （或2 5 。 8 6％）
P0
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附录A 定量计算的复习
755
这就是服从对数正态分布的年利率r的实际意义。注意，尽管年连续复利rc可能为
负，但期末股价P1不可能为负。
服从对数正态分布的金融资产具有两个重要的特性：它们的期望收益以及考察期
长度的可变性。
服从对数正态分布资产的期望收益：一个对数正态分布股票的期望年收益为：
E（r） = e x p （
＋
2/ 2 ）…1 = e x p （ 0 。 1 2 ＋ 0 。 4 22/ 2 ）…1 =e0 。 2 。 8 2…1 = 0 。 2 3 1 5 （或2 3 。 1 5％）
这只是关于分布统计值的一个数学特性。鉴于此，一个有用的统计量
*定义如下：
2
* =
＋= 0。208 2
2
当分析家们提到对数正态分布资产年复利的期望时，他们一般是指
*。通常这份
资产的年复利就被认为服从期望是
*、标准差为
考察期间长度的可变性：对数正态分布允许资产持有期的变动。假定我们希望能
计算月收益，而非年收益。我们用t来表示我们要求的时间段，为方便起见，t用分数
（以年为单位1）来表示；那么在比例中我们就设t= 1 / 1 2。为了把年收益的分布转化成t
的正态分布。
时段收益的分布，我们只需要把原分布的期望与方差乘以t即可（比例中t= 1 / 1 2）。
在我们这个例子中，股票月连续复利的期望和标准差为：
（月）＝0 。 1 2 / 1 2＝0 。 0 1 （或者说每月1％）
（月）＝0 。 4 2／
12
＝0。121 2（或每月1 2 。 1 2％）
*（月）＝0。208 2／1 2＝0。017 35（或每月1 。 7 3 5％）
注意我们在把年转化为月时，方差应除以1 2；因此标准差应除以
12
。
同样地，我们可以把一个非年利的分布转化为一个以年利计算的分布。例如，假
设股票周连续复利服从正态分布，且
*＝0。 0 0 3，
＝0 。 0 7 ，于是年连续复利分布的各
项指标为：
*＝52�
