投资学(第4版)-第147部分

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即rG　＝7　。　8　1％　
一般情况下，对于一个几期投资来说，其几何平均收益率是这样给出的：
1＋rG　＝＇　（　1＋r1）　（　1＋r2）。（　1＋rt）。（　1＋rn）　＇1　/n　
其中rt是每期的收益率。
在这个例子中，几何平均收益率为7　。　8　1％，比算术平均收益率7　。　8　3％略小一些。这
是一个一般的结论：几何平均收益率绝不会超过算术平均收益率。为使这个结果变得
更直观，考虑某一股票，第一期它的价值翻了一倍（r1　＝1　0　0％），第二期其价值减半（r2　
＝…5　0％），那么算术平均收益率是rA　＝＇　1　0　0＋（…5　0　）　＇　/　2＝2　5％，然而它的几何平均收益
率却为rG　＝＇　（　1＋1　）　（　1…0　。　5　）　＇1　/　2…1＝0。在计算几何平均收益率时，第二期…5　0％的收益完
全抵销了第一期1　0　0％的收益，使得平均收益为0；而在算术平均收益率中则并非如此。
一般来说，在几何平均收益率的算法中，较低的收益率具有更大的影响。因此，几何
平均收益率要比算术平均收益率低一些。
更进一步说，每期的收益率差距越大，两种平均方法的差别也就越大。一般的规
则是，当收益率以小数（而不是百分比）表示时，有下面的公式成立：
…　21　2　
（　2　4　…　1　）
rG　。　rA　
2
其中
是收益率的方差。当收益率为正态分布时，公式（　2　4　…　1　）是精确的。
例如，表2　4　…　1列示了在1　9　2　6　~　1　9　9　6年各种不同投资项目的算术平均收益率和几何
平均收益率。所有的算术平均收益率都比几何平均收益率大，其差距最大的是小公司
的股票，同时它也是年收益率标准差最大的。只有当各年年收益率完全相等时，两种

624　第七部分资产组合管理的应用
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平均收益率之间的差别才会降至0。从表中可以看出，当收益率的标准差降到了国库
券的水平，两种平均收益率的差别就很小了。
表24…1　1926~1996年投资的平均年收益率
名称算术平均几何平均差距标准差
小公司的普通股①　1　9　。　0　1　2　。　6　6　。　4　4　0　。　4　
大公司的普通股1　2　。　5　1　0　。　5　2　。　0　2　0　。　4　
长期国债5　。　3　5　。　0　0　。　3　8　。　0　
美国国库券3　。　8　3　。　7　0　。　1　3　。　3　
①　这些公司的股票市值相对较低，计算市值的方法为每股股价乘以现有股票数量。
资料来源：作者在表5　…　2的资料基础上计算出来的。
为了说明公式（　2　4　…　1　），我们可以考虑大公司股票的平均收益。根据公式，
0　。　1　0　5≈0　。　1　2　5…（　1　/　2　）　（　0　。　2　0　4　）2＝0。1042　
0　。　1　0　5≈0　。　1　0　4　2　
正如我们预测的那样，算术平均收益率（　0　。　1　2　5　）超出几何平均收益率（　0　。　1　0　5　）的部分
大约是两年中收益率方差的一半。显然，我们在比较收益率时决不应把这两种平均方
法混淆＇　1　＇。
还有最后一个问题：在算术平均和几何平均中，哪一种方法能更好地测算投资业
绩？也许几何平均会更好一些，因为它意味着我们必须保持一个稳定的收益率，以配
合过去几年投资的实际业绩。它是一个测算过去业绩的好方法。然而，如果你更注重
未来的业绩，那么你就得用算术平均来统计了，因为它是资产组合期望收益的无偏估
计（假定期望收益不随时间变动）。相反，因为长样本期的几何平均收益率往往小于算
术平均收益率，它就成为了股票预期收益的保守估计。
为了说明这个问题，仍然考虑上文提过的那只股票，它的价值可能以0　。　5的概率翻
倍（r＝1　0　0％），或者以0　。　5的概率减半（r＝…5　0％）。下表说明了可能的结果：
投资结果每投资1美元所获得的最终价值/美元一年收益率（％）　
翻倍2　。　0　0　1　0　0　
减半0　。　5　0　…5　0　
假设两年中股票保持了这样的概率特性。其中一年加倍，另一年减半，最终股票
价值仍会和最初时点一样，因此年收益的几何平均值为0。显然，如果每年收益率保
持为0，那么结果与其完全一致。
但股票的期望年收益率并不是0，而是1　0　0％和…5　0％的算术平均值：（　1　0　0…5　0　）　/　2＝　
2　5％。每投资1美元就有两种等可能的结果：或收益美元1　（当r＝1　0　0％时），或损失美元
0　。　5　0　（当r＝…5　0％时），期待其期望利润是（　1美元…0　。　5　0美元）　/　2＝0　。　2　5美元，即2　5％的期望
收益率。尽管几何平均收益率为0，但好年景的利润却足以抵销坏年景的损失。这就
说明了算术平均收益率是计算期望收益率的正确方法。
进一步讨论多时期投资，例如考虑两年中所有可能的情况：
投资结果每投资1美元所获得的最终价值/美元两年总收益率（％）　
翻倍，翻倍4　。　0　0　3　0　0　
翻倍，减半1　。　0　0　0　
减半，翻倍1　。　0　0　0　
减半，减半0　。　2　5　…7　5　
＇1＇　在小公司股票的情况下，（　1　/　2　）　（　0　。　4　0　4　）2＝0　。　0　8　2，rA　…rG　＝0　。　0　6　4，因为小公司股票收益率的最终价值比根
据正态分布预计的价值要更可能实现。

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第24章资产组合业绩评估
两年后每1美元的期望终值为（　4＋1＋1＋0。25）　美元/　4＝1　。　5　6　2　5美元，这同样也能
表明其平均年收益率为算术平均收益率的2　5％。注意到若某项投资具有固定的年收益
率2　5％，且期望终值以复利计算，那么其终值应为（　1　。　2　5　）2　＝1。562　5　。而例中股票两年
中收益率的算术平均值为＇　3　0　0＋0＋0＋（…7　5　）　＇　/　4＝5　6　。　2　5％。因此，有效年收益率即为
（1。562　5）1　/　2…1＝2　5％。相反的，年收益率的几何平均值却为零：
＇　（　1＋3　）　（　1＋0　）　（　1＋0　）　（　1…0　。　7　5　）　＇1　/　4＝1　。　0　
我们又一次说明了算术平均收益率是预期未来业绩的正确方法。
概念检验
问题2：假定某一股票现价1　0　0美元/股，一年后可能上涨1　5％，上涨的概率为0　。　5，　
或者下跌5％，其概率也是0　。　5，并且不付红利。
a。　计算股票收益率的几何均值和算术均值。
b。　年末时每股股票期望收益是多少？　
c。　哪种方法更适于测算期望收益率？　
24。2　业绩评估的传统理论
仅仅计算出资产组合的平均收益是不够的，我们还必须根据风险来调整收益。只有
这样，收益之间的比较才有意义。在根据资产组合的风险来调整收益的各种方法中，最
简单、最普遍的方法是与其他有类似风险的投资基金进行收益率的相互比较。例如，高
收益债券组合被归为一类，增长型股票资产亦被归为一类，等等。然后我们可以在每类
中确定每个基金的平均收益（　一般是时间权重平均收益），并根据各基金对比情况
（parison　universe）给出一个在其所在类别中百分比的排序。例如，在由1　0　0个基金组成
的大类里，第9名的管理者排序为9　0％，它表示在本评估期内其业绩比9　0％的竞争者要好。
这些排名通常制成表公布（如图2　4　…　1　）。该表总结了1季度、1年、3年、5年这4个评
估期间的业绩排名。图中的上下线分别是位于5％和9　5％管理者的收益率。中间的三条
线分别是位于第7　5％、5　0％（中位数）和2　5％的管理者。菱形代表某一特定基金的平均收
益率，方块则代表市场基准指数的收益率，如标准普尔5　0　0。从菱形在格子中的位置
就很容易看出该基金在可比情况下的经营业绩。
收益率（％）　
马克威尔集团
标准普尔500　
1季度1年3年5年
图24…1　情况对比（截至1　9　9　8年1　2月3　1日）　

626　第七部分资产组合管理的应用
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在业绩评估中，与其他同种投资形式基金的业绩比较是第一步。然而，这些排名
并不十分可靠。例如，在某个特定的环境下，一些管理者可能更注重资产组合中的某
一部分资产，这样的资产组合特征就不再具有可比性。例如，在资本市场中某个管理
者更关注高
值的股票；类似地，在固定收益证券的情况下，久期却因管理者的不同
而各异。这些都表明寻求更精确的风险调整方式是相当有必要的。
两种考虑风险调整的业绩评估方法同时出现了，它们是均值…方差比值标准和资
本资产定价模型（　C　A　P　M　）。杰克·特雷纳（Jack　T　r　e　y　n　o　r　）＇　1　＇、威廉·夏普（　Wi　l　l　i　a　m　
S　h　a　r　p　e　）＇2＇　和迈克尔·詹森（Michael　Jensen）＇3＇　立即认识到了C　A　P　M在评估经营业绩上的
特殊意义，随即，学者们掌握了一批业绩评估方法，从象牙塔中涌现出了大量对共同
基金业绩评估的研究成果。之后不久，市场上又出现了一些代理，他们为资产组合经
理提供评级服务，并收取固定回报。这种趋势已日渐明朗。
经风险调整的业绩评估指标出现后，其普及却一度滞后。对此现象的一种解释是
因为统计数字对业绩呈现出普遍的负评价。在近似有效的市场上，分析家们很难完全
抵销他们主动投资所带来的研究费用和交易费用，而事实上，无论是原始收益率指标
还是经风险调整的收益率指标，大多数专业基金管理者的业绩表现都低于标准普尔
5　0　0指数。
均值方差标准受阻的另一个原因是存在着测算的内部原因，我们将讨论这个问题，
并探寻克服它们的创新方法。
现在，我们列出一些经风险调整的业绩测度指标，并考察其适用的条件。
1）　夏普测度：（rP　…　rf　）/　
P　
夏普测度（S　h　a　r　p　e　’s　measure　）是用资产组合的长期平均超额收益除以这个时期收
益的标准差。它测度了对总波动性权衡的回报。＇　4　＇　
2）　特雷纳测度：（rP　…　rf　）/　
P　
与夏普测度指标相类似，特雷纳测度（Tr　e　y　n　o　r’s　measure　）给出了单位风险的超
额收益，但它用的是系统风险而不是全部风险。
3）　詹森测度：
=　rP　…＇rf　＋　
P　（rM　…　rf　）＇
詹森测度（J　e　n　s　e　n　’s　measure　）是建立在C　A　P　M测算基础上的资产组合的平均收益，
它用到了资产组合的贝塔值和平均市场收益，其结果即为资产组合的阿尔法值。
4）　估价比率：
P　
（eP　）　
估价比率（appraisal　ratio）这种方法用资产组合的阿尔法值除以其非系统风险，
它测算的是每单位非系统风险所带来的非常规收益，前者是指在原则上可以通过持有
市场上全部资产组合而完全分散掉的那一部分风险。
每一种指标都有其可取之处。由于各种经风险调整收益的指标在本质上是不同的，
因此它们对于某一基金业绩的评估并不完全一致。
P　/　
概念检验
问题3：在一个特定的样本期内各数据如下：
＇1＇　Jack　L。　Tr　e　y　n　o　r；“How　to　Rate　Management　Investment　Funds；”H　a　rv　a　rd　Business　Review　43　（January…
February　1966）。　
＇2＇　William　F。　Sharpe；“Mutual　Fund　Performance；”Journal　of　Business　39　（January　1966）。　
＇3＇　Michael　C。　Jensen；“The　Performance　of　Mutual　Funds　in　the　Period　1945…1964；”Journal　of　Finance；　
May　1968；　and　“Risk；　the　Pricing　of　Capital　Assets；　and　the　Evaluation　of　Investment　Portfolios；　”　
Journal　of　Business；　April　1969。　
＇4＇　我们在rp与rf上加上横线是要说明，由于在测度期无风险利率并不是不变的，我们要用样本的平均值。

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第24章资产组合业绩评估
627
项目资产组合P　市场M　
平均收益率（％）　3　5　2　8　
贝塔值1　。　2　0　1　。　0　0　
标准差（％）　4　2　3　0　
非系统风险（％）　1　8　0　
请计算市场与资产组合P的下列业绩评估测度指标：夏普测度；詹森测度（a值）；　
特雷纳测度；估价比率（假设此时国库券利率为6％）。在哪种测度指标上，资产组合P　
的表现要比市场好？　
24。2。1　业绩的M2测度
虽然夏普测度指标可以用来评价资产组合的业绩，但其数值含义却并不那么容易
解释。比较“概念检验问题3”中资产组合M和P的各项比率。可以得到SP　＝0　。　6　9，SM　
＝0　。　7　3。这就表明资产组合P的收益不如市场指数。但夏普测度指标中0　。　0　4的差异具有
经济意义上的区别吗？我们常常比较收益率，但这些比率经常难以解释。
摩根斯坦利公司的李·莫迪格里安尼（Leah　Modig　liani）和她的祖父，上届诺贝
尔经济学奖得主弗兰克·莫迪格里安尼（Franco　Modigliani）引入了经改进的夏普测
度指标。＇1＇　他们的方法被命名为M2测度指标（即莫迪格里安尼的平方）。与夏普测度指
标类似，M2测度指标也把全部风险作为风险的度量，但是，这种收益的风险调整方法
很容易解释为什么相对于不同的市场基准指数有不同的收益水平。
M2测度指