投资学(第4版)-第133部分
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如此，这种近似的计算在很多应用中也算是很精确的了＇ 3 ＇。
＇1＇ Fischer Black； “Fact and Fantasy in the Use of Options；” Financial Analysis Journal 31 （July…August
1 9 7 5 ） 。
＇2＇ 支付红利的美式看涨期权的精确定价公式参见：Richard Roll； “An Analytic Valuation Formula for
Unprotected American Call Options On Stocks with Known Dividends；” Journal of Financial Economics
5 （November 1977）。这一技术得到修改，参见：Robert Geske； “A Note on an Analytical Formula for
Unprotected American Call Options on Stocks with Known Dividends；” Journal of Financial Economics
7 （December 1979）以及Robert E。 Whaley；“On the Valuation of American Call Options on Stocks with
Known Dividends；”Journal of Financial Economics 9 （June 1981）。这些文章都很难。
＇3＇ 对美式看跌期权的更完全的论述参见：R。 Geske and H。 E。 Johnson； “The American Put Va l u e d
A n a l y t i c a l l y；”Journal of Finance 39 （December 1984）； pp。1511 … 2 4 。
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第21章期权定价
563
21。5 布莱克…舒尔斯公式的运用
21。5。1 套期保值率与布莱克…舒尔斯公式
在上一章中，我们考察了对I B M公司的两种投资：1 000 股I B M股票与10 000 份
I B M股票的看涨期权。我们发现，与全部持有股票相比，看涨期权对股票价格的变化
更敏感。为了更加准确地分析对股票价格的总体风险，很有必要把相对敏感性量化。
使我们能够对具有不同执行价格与到期期限的期权资产组合的总体风险进行归纳的工
具就是套期保值率。期权的套期保值率（hedge ratio） 就是股票价格上升1美元时期权价
格的变化量。所以，看涨期权的套期保值率是正值，而看跌期权的套期保值率是负值。
套期保值率通常又称为期权的得尔塔（d e l t a）。
如图2 1 … 8所示，如果给出期权价格与股票价格的函数曲线，那么套期保值率就是
曲线在当前股票价格上的斜率。例如，假设当股票价格为1 2 0美元时，曲线的斜率为
0 。 6。则当股票价格上升1美元时，期权价格会近似地增加0 。 6美元，如图所示。
每出售一份看涨期权，就需要0 。 6股股票来对其进行套期保值。例如，某人出售1 0
份看涨期权并且持有6股股票，根据0 。 6的套期比率，股票价格每升高1美元，股票的收
益增加6美元，同时看涨期权则损失1 0×0 。 6美元，即6美元。可见股票价格的变动没有
引起总财富的变动，这就使头寸
得到了套期保值。投资者根据股
票与期权价格的相对变动按比例
地持有股票与期权，就可以实现
对资产组合的套期保值。
布莱克…舒尔斯套期保值率
非常容易计算，看涨期权的套期
保值率是N（d1），看跌期权的套期
保值率为N （d1）…1。我们将N （d1）
定义为布莱克…舒尔斯公式（ 2 1 … 1
式）的一部分，N （ d ）代表标准正
态分布曲线到d 的区域的面积。
所以，看涨期权的套期保值率总
是正值且小于1 。 0 ，而看跌期权
的套期保值率是负值，且绝对值小于1 。 0。
看涨期权（C）的价值
斜率=0。6
图21…8 看涨期权价值与套期保值率
从图2 1 … 8中也可看出看涨期权价值函数的斜率小于1 。0 ，只有当股票价格比执行
价格高出很多时才接近1 。 0。这就告诉我们，当股票价格变化为1时，期权价格的变化
要小于1，为什么会这样呢？假设目前期权处于实值，那么期权被执行是绝对肯定的，
在这种情况下，股票价格上升1美元，期权价格也会上升1美元。但如果看涨期权到期
时是虚值，即使股票价格上升1美元，看涨期权的最后收益也不会增加，从而看涨期
权价值不会相应地上涨1美元。
套期保值率小于1 。 0这一事实与我们前面观察的期权的杠杆作用与对股票价格波动的
敏感性并不矛盾。尽管在绝对数量上（以美元计算），期权价格的波动要比股票价格的变动
小，但是期权收益率的波动性却比股票的高，因为期权的价格较低。在我们的例子中，
股票价格为1 2 0美元，套期保值率为0 。 6，执行价格为1 2 0美元的期权的价格为5美元。如果
股票价格涨到1 2 1美元，则看涨期权价格仅会增加0 。 6美元，达到5 。 6美元。期权价格的增
长百分比为0 。 6 0美元/ 5 。 0 0美元= 1 2％，而股票价格的增长百分比仅为1美元/ 1 2 0美元= 0 。 8 3％。
比率为1 2％/ 0 。 8 3％= 1 4 。 4，即股票价格每增加1％，期权的价格会上涨1 4 。 4％。这一比率，即
期权价格变动百分比与股票价格变动百分比的比值，称为期权弹性（option elasticity）。
套期保值率是资产组合管理与控制的最基本工具，下面的例子将说明这一点。考
564 第六部分期权、期货与其他衍生工具
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虑两种资产组合，一是个人持有7 5 0份I B M公司的看涨期权与2 0 0股该公司的股票，而
另一组合是个人持有8 0 0股I B M股票，当I B M公司的股票价格波动时，哪一种资产组合
的价格变动更大呢？使用套期保值率可以很容易回答这一问题。
用H代表套期保值率，则股票价格每变动1美元，期权价格就会变动H美元。因此，
如果H的值为0 。 6，由于I B M股票价格的波动，7 5 0份期权就相当于4 5 0 （ 7 5 0×0 。 6 ）股股
票。显然，第一种资产组合对股票价格的敏感性要低，因为相当于4 5 0股股票的期权
再加上本来持有的2 0 0股股票要小于第二种资产组合的8 0 0股股票。
然而，这并不是说第一种资产组合对股票收益率的敏感性也一定不及第二种资产
组合。我们在讨论期权弹性时知道，第一种资产组合总价值可能低于第二种资产组合。
因此尽管它对总体市场价值的敏感度会低一些，但是它可能会非常敏感于收益率。因
为一份看涨期权的市场价值要低于股票的价格，尽管它的套期保值率小于1，但它的
价格变化幅度却要比股票大得多。
概念检验
问题8：如果股票的市价为1 2 2美元，执行价格为1 2 0美元的看跌期权的市价为4美
元，其套期保值率为0 。 4，则此看跌期权的弹性为多少？
21。5。2 资产组合保险
在第2 0章中，我们已经知道，保护性看跌期权策略提供了一种对资产的保险。事
实证明，投资者非常喜欢保护性看
跌期权。甚至当资产价格下跌时，
看跌期权仍有权利以执行价格卖出
资产，这是一种将证券投资的价值
锁定在某个价格下限的一种方法。
两平看跌期权（X=S0）的最大损失是看
跌期权的成本。资产可以以X 出售，
与其初始价值相等，所以即使资产
价格下跌，投资者在这段时间内的
净损失仅仅是看跌期权的成本。如
果资产价值上升，潜在的上升却是
没有限制的。图2 1 … 9是保护性看跌
可保护的头寸值的变化
看跌期权的成本
标的资产价
值的变化
期权在标的资产价值变动时的收益
图21…9 保护性看跌期权策略的利润
与损失。
保护性看跌期权也是实现资产组合保险（portfolio insurance） 的一个简单而方便的
方法，也就是说，它限制了最坏情况下资产组合的收益率，但在对股票资产组合保险
时，有一些实际的困难。首先，除非投资者的资产组合同看跌期权交易的市场指数相
符，否则的话则无法买到资产组合的看跌期权。而且如果用指数的看跌期权来保护指
数外的证券时，会产生追踪误差。例如，如果市场指数上升，证券价值下跌，看跌期
权将会失去应有的保护作用。追踪误差限制了投资者进行积极的股票策略的自由度，
因为资产组合背离市场指数越严重，这种误差就越大。
而且，保险计划的期限必须与所交易的看跌期权的期限相匹配，以便建立适当的
保护性看跌期权。今天，在芝加哥期权交易所交易的市场指数的长期期权与一些大型
股票（被称为L E A P S，Long…term Equity Anticipation Securities）的期限长达好几年。而
且，这一市场最近几年才活跃起来。在8 0年代中期，虽然大多数投资者都追求期限长
达几年的保险项目，但是交易活跃的看跌期权的期限却不超过1年。将一系列短期看
跌期权滚动起来可看作是一个解决这个问题的方法，但这会引入新的风险，因为一系
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第21章期权定价
565
列在将来才会得到的看跌期权的价格现在是未知的。
期限为几年的资产组合保险的供应者，不能简单地将为委托人的资产组合购买的
保护性看跌期权作为权宜之计，相反，他们需要采用交易策略复制保护性看跌期权的
收益。
以下是一个人们普遍接受的观点：即使所需要的到期日的资产组合的看跌期权不
存在，也可以通过理论上的期权定价公式（例如布莱克…舒尔斯期权定价公式）来确定期
权价格对资产组合价值的反应，如果这种期权确实在交易的话。例如，未来股票价格
下降时看跌期权会增值。通过期权定价公式，可以确定两者的这种关系。假定的保护
性看跌期权资产组合对股票价格变动的净风险等于构成资产组合的两部分，股票与看
跌期权的风险之和。即资产组合的净风险等于股票的风险减去看跌期权的风险。
如果我们持有的一定数量股票对市场波动的净风险与假设的保护性看跌期权的风
险相同，那么我们就创造了合成的保护性看跌期权。这种策略的关键是期权的得尔塔
或者套期保值率，也就是标的股票资产组合价值的单位变化所引起的保护性看跌期权
价格的变化量。
下面举例来说明这种方法。假定一个股票价值损失2％×1 0 0 = 2 。 0 0
资产组合的现值为1 亿美元。以该资产组＋ 看跌期权的盈利0 。 6×2 。 0 0 = 1 。 2 0
合为标的的看跌期权的得尔塔值为…0 。 6， 净损失：= 0 。 8 0
也就是说资产组合的价值每增加（减少） 1美
元，期权的价值就会减少（增加） 0 。 6美元。假定资产组合的价值减少了2％，如果存在看
跌期权的话，假定的保护性看跌期权的赢利如右所示（以百万美元计）：
我们也可以通过出售等于得尔塔（如6 0％）的比例的股票，并购买相应数量的无风
险的短期国库券，以达到创造合成的期权头寸的目的。其基本原理是，假定的看跌期
权可以抵消掉股票资产组合价值变化的
6 0％ ，所以可以直接出售6 0％的股票并将股票投资的损失：2％×4 0 = 0 。 8 0
收益投资于无风险资产。6 000 万美元投资＋国库券的损失： =0
于无风险资产与4 000万美元投资于股票所净损失：= 0 。 8 0
组成的资产组合的总收益为（以百万美元
计）：
合成的与实际的保护性看
跌期权头寸具有同样的收益
率。我们的结论是，如果出售
等于看跌期权的得尔塔值比例
的股票，换成现金等价物，在
股票市场的风险等于所希望的
保护性看跌期权头寸的风险。
这种处理的困难之处在于
得尔塔值经常改变。图2 1 … 1 0
表明，股票价格下跌，套期保
值率将增大。因此，市场下跌
时需要增加套期保值，即需要
将更多的股票变为现金。套期图21…10 套期保值率随股票价格的变化
看跌期权（P）的价值
较高的斜率＝高套期保值率
低斜率＝低
套期保值率
保值率不断更新的过程称为动
态套期保值dynamic hedging）。
资产组合保险对市场的变化有作用的一个原因就是动态套期保值。市场下跌时，
由于资产组合保险者努力增加套期，出售看跌期权，从而导致额外的股票抛售。这些
额外的抛售又会加剧市场的下跌。
566 第六部分期权、期货与其他衍生工具
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在现实中，资产组合拥有者并不直接出售或购买股票来更新他们的套期保值头寸。
相反，他们通过购买或出售股票指数期货作为买卖股票的替代物以使费用最小化。读
者将会在下一章看到，通过交叉市场的套利，股票的价格与股指期货的价格常常紧密
地联系在一起。因此，股指期货的交易就可用作股票交易的替代品。套期保值者将卖
掉相应数额的期货合约来代替基于看跌期权得尔塔值所出售的股票＇ 1 ＇。
1 9 8 7年1 0月1 9日的市场暴跌中，有些资产组合保险人遭受了巨大的损失，当时市
场在一天内损失了2 0％。对当时所发生的一切的详细描述会让你体会到看似简�
