投资学(第4版)-第131部分

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的现值是6　。　3　0美元。因为该套利策略包含2份期权，每一个期权的赢利为3　。　1　5美元，正
好等于期权价格被高估的数额，即3　0美元减去公平价值2　6　。　8　5美元。
概念检验
问题4：假如看涨期权被低估了，譬如为2　4美元。阐明用来发现错误定价的套利
策略。并且证明每购买一份期权在一年之后可以获得3　。　0　8美元的无风险现金流。
21。3。2　两状态方法的推广
虽然两状态股票价格模型看起来很简单，但是我们可以将其推广，加入现实的假
设。首先，假定我们将一年分成两个6个月的时期，然后假定在任何一个时期，股票
都只有两个可能的价值。这里我们假定股价将增长1　0％或者将下降5％，股票的初始价
格为每股1　0　0美元，在一年中价格可能的路径为：
110
100
104。50　
95　
90。25　
121　
中间价为1　0　4　。　5　0美元，可通过两条路径获得：先增加1　0％，再降低5％；或者先降
低5％再增加1　0％。现在有三种可能的年末股票价值与期权价值。
C＋＋　
C＋　
C…＋
C　
C…
C
使用类似前面采用的方法，我们可以从C＋　＋与C＋　…得到C＋，然后从C…＋　与C…　…得到C…，　
最后再从C＋　与C…得到C。而且我们也没有理由就停止在6个月的时间间隔上，接下来我
们可以把一年分成四个3个月，或者1　2个1个月，或者3　6　5天，每一个时间段都假定是
一个两状态过程。虽然计算量变得很大而且枯燥，但是对计算机程序来说却很容易，
并且这种计算机程序在期权市场预测上得到了广泛的使用。
当我们把一年分成越来越多的间隔时，年末股票可能价格的范围也随之膨胀了，
并且实际上，将最终形成熟悉的钟形分布。这可以从对一段时间内有三个间隔的股票
事件树的分析中看出：
S
＋＋＋　
s
＋＋　
S
＋＋S
＋　
S
…＋
S　
S
＋
SS
…S
…
首先，注意当间隔数量增加时，股票可能的价格也增加了。其次，注意最后事件，
像S＋　＋　＋　或者S…　…　…是相对较少的，因为它们需要在三个子间隔内连续增加或减少。中间范
围的，像S＋　＋…能通过不只一条途径得到，价格两升一降的资产组合将会得到股价S＋　＋…。

556　第六部分期权、期货与其他衍生工具
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因此，中等范围的价值的可能性会更大一些。用二项式分布可以将每个结果都描述出
来，因此这种多时期的期权定价方法被称作二项式模型（binomial　model）。
例如，初始股票价格为1　0　0美元，股票价格上涨或下跌的可能性相同，三时期内股
票价格可能增加5％而减少3％，我们能从以下的计算中得出股票价格的概率分布。三时
期内股票价格的变动有八种组合：＋　＋　＋，＋　＋…，＋…＋，…＋　＋，＋…　…，…＋…，…　…＋，…　…　…。
每个都有1　/　8的可能性。因此，股价在最后期末的概率分布为：
事件概率股票价格
3升1　/　8　1　0　0×（　1　。　0　5　）3=　11　5　。　7　6　
2升1降3　/　8　1　0　0×（　1　。　0　5　）2×0　。　9　7　=　1　0　6　。　9　4　
1升2降3　/　8　1　0　0×1　。　0　5×（　0　。　9　7　）2=　9　8　。　7　9　
3降1　/　8　1　0　0×（　0　。　9　7　）3=　9　1　。　2　7　
中间价值发生的可能性是两端
价值发生可能性的3倍。图2　1　…　5　a　）是
这个例子的频率分布。该图接近于
钟形曲线。实际上，当时间间隔数
量增加时，如图2　1　…　5　b　）所示，频率
分布更接近于对数正态分布，而非
标准正态分布＇　1　＇。
假定我们将股票价格上下变
动的时间间隔继续分小，最后事
件树的每个节点对应着无限小的
时间间隔，那么在这些时间间隔
内股票价格的变动也相应地非常
小。随着时间间隔的增加，最后
的股票价格将越来越接近对数正
态分布。那么两状态模型过于简
单化的缺点就可以通过时间间隔
的进一步细分来克服。
在任何一个节点，都可以建
立一个资产组合来对下一个时间
间隔的风险进行套期保值。接着，
在下一个时间间隔末，在到达下
一个节点上，又可以重新计算套
期保值率，对资产组合的构成进
行更新。通过不断改变套期保值
头寸，资产组合可以总保持在风
险对冲的状态，在每个间隔都获
概率
未来股票
价格
未来股票
价格
概率
b）　
a）　
图21…5　概率分布
注：a）　三个时期后股票价格可能的结果及其概率。
初始股票价格为1　0　0美元，在每个时期，股票价格或上涨
5％，或下跌3％。
b）　每个时期又分为两个间隔。在六个时期内，股票
价格或上涨2　。　5％，或下跌1　。　5％。随着期间数的增加，股票
价格分布接近钟型分布。
得无风险收益。这称为动态套期保值，也就是随时间不断调整套期保值率。动态套期
保值越来越完善，期权的定价过程也越来越精确。
＇1＇　实际上，这里引入了更复杂的考虑。只有当我们假设股价连续变动，也就是说在很小的时间间隔内股
价仅发生很小的变动时，这一过程的极限才是对数正态分布。这排除了极端事件，像由于戏剧化的信
息突然发生很大的价格变动。对这类跳动事件的处理，参见：John　C。　Cox　and　Stephen　A。　Ross；　“T　h　e　
Valuation　of　Options　for　Alternative　stochastic　Processes　”；　Journal　of　Financial　Economics　3　（January…
March　1976）；　PP。　1　4　5　…　6　6　；　或者Robert　C。　Merton；　“Option　Pricing　when　Underlying　stock　Returns　Are　
D　i　s　c　o　n　t　i　n　u　o　u　s　；”　Journal　of　Financial　Economics　3（January…March　1976）；　PP。　125…44。　

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第21章期权定价配置
557　
概念检验
问题5：当期权的实值状态越深时，套期保值率是越大还是越小？（提示：记住套
期保值率是期权价格的变化与股票价格变化的比率。什么时候期权价格对股票价格的
变动更敏感？）　
21。4　布莱克…舒尔斯期权定价模型
尽管我们介绍过的二项式模型方法要灵活得多，但这种方法在实际工作中需要用
计算机，而期权公式却要简单得多，没有二项式模型中的复杂的步骤，只要作两个假
设，公式就可以用了，这两个假设是无风险利率与股票价格的标准差在期权有效期内
保持不变。
21。4。1　布莱克…舒尔斯公式
金融经济学家一直在寻找一种实用的期权定价模型。最后，终于由布莱克、舒尔
斯＇　1　＇与默顿＇　2　＇发现了计算看涨期权价值的公式，舒尔斯与默顿也因此获得了1　9　9　7年诺贝
尔经济学奖＇　3　＇。现在，布莱克…舒尔斯定价公式（Black…Scholes　pricing　formula）已被期货
市场参与者广泛接受，该公式如下：
C0　=S0　N（d1）…Xe　
…r　TN（d2）　（　2　1　…　1　）　
其中
d1　=　1n（s0　/　X）　＋　（r　＋　
T　
2　/2）T　
d2　=　d1　…　T　
式中C0　—当前的看涨期权价格；
S0　—当前的股票价格；
N（d）—标准正态分布小于d的概率，图2　1　…　6的阴影部分；
X—执行价格；
e—2　。　7　1　8　2　8，自然对数的底；
r—无风险利率（与期权的到期期限相同的安全资产的连续复利的年收益
率，与离散时间的收益率rf不同）；
T—期权到期时间；
l　n—自然对数函数；
—股票连续复利的年收益率的标准差。
期权价格并不取决于股票的期望收益率。实际上，该公式中已经包含了股票价格
的信息，而股票的价格与股票的风险特性有关。这里的布莱克…舒尔斯公式假定股票不
支付红利。
尽管你会觉得布莱克…舒尔斯公式很复杂，但是我们可以从直觉上进行理解。把
N（d）部分看作看涨期权在到期处于实值的风险调整概率。首先，看一下2　1　…　1式，假设
…r　T
两个N（d）均为1，我们就看到看涨期权被执行的可能性很高。看涨期权价值为S0　…Xe　，　
这也是我们前面提到过的调整后的内在价值，S0　…P　V　（X）。这一点是很有意义的，如果
确实执行了，我们就获得了以S0为现价的股票的所有权，而承担了现值为P　V　（X）的债
＇1＇　3　Fischer　Black　and　Myron　Scholes；　The　Pricing　of　Options　and　Corporate　Liabilities；　Journal　of　Political　
Economy　81（　May…June　1973）。　
＇2＇　Robert　C。　Merton；　Theory　of　Rational　Option　Pricing；　Bell　Journal　of　Economics　and　Management　
Science　4（Spring　1973）。　
＇3＇　布莱克于1　9　9　5年去世。

558　第六部分期权、期货与其他衍生工具
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务，或以连续复利计算为Xe　…r　T的债务。
现在再看2　1　…　1式，如果N（d）趋于零，意味着期权不会被执行，该等式说明看涨期
权价值为零。对于N（d）在0与1之间时，2　1　…　1式告诉我们，可把看涨期权价值看作是经
过到期时处于实值的概率调整后的潜在未来收益的现值。
那么，N（d）又是如何表示风险
调整概率的呢？这需要用到高级统
计学的知识。注意l　n　（S0/X），在d1和
d2的分子中都出现了，它近似表示
期权现在实值与虚值的百分比。例
如，如果S0=　1　0　5，X=　1　0　0，期权实值
的百分比是5％，l　n　（　1　0　5　/　1　0　0　）　=　0　。　0　4　9，
同理，如果S0=　9　5，则期权虚值的百
分比是5％，l　n　（　9　5　/　1　0　0　）　=…0　。　0　5　1，分
T
母
，用股票价格在剩余期限中的
标准差对期权的实值与虚值的百分
比进行调整。如果股价变动很小，图21…6　标准正态曲线
并且距到期的时间也所剩无几的时
候，给定比例的实值期权一般会保持原实值状态，因此，N（d1）与N（d2）代表期权到期时处
于实值的概率。
N（d）=阴影区
布莱克…舒尔斯公式很容易应用，假设想对一个看涨期权进行定价，已知条件如
下：
股票价格S0=　1　0　0　利率r=　0　。　1　0　（每年1　0％）　
执行价格X=　9　5　期权期限T=　0　。　2　5　（　3个月）　
=　0　。　5　0　（每年5　0％）
首先计算：
ln（100/95）
＋　（0。10　＋　0。52　/2）′　0。25　
d1　=　
=　0。43　
0。5
0。25
d2　=　0。43　…　0。5　
0。25　=　0。18　
接下去查N（d1）与N（d2），在统计书中可以查到正态分布表，如表2　1　…　2，查得
N（　0　。　4　3　）　=　0　。　6　6　6　4，　N（　0　。　1　8　）　=　0　。　5　7　1　4。
于是，看涨期权价值为
C=　1　0　0×0。666　4…9　5　e…0　。　1　0×0　。　2　5　×0。571　4=66。64…52。94　=13。70美元
概念检验
问题6：如果股票的标准差为0　。　6而不是0　。　5，计算看涨期权价格，并说明标准差越
大，期权价值越大。
表21…2　累积正态分布
d　N（d）　d　N（d）　d　N（d）　
…3　。　0　0　0　。　0　0　1　3　…0　。　7　8　0　。　2　1　7　7　0　。　8　4　0　。　7　9　9　6　
…2　。　9　5　0　。　0　0　1　6　…0　。　7　6　0　。　2　2　3　6　0　。　8　6　0　。　8　0　5　1　
…2　。　9　0　0　。　0　0　1　9　…0　。　7　4　0　。　2　2　9　7　0　。　8　8　0　。　8　1　0　6　
…2　。　8　5　0　。　0　0　2　2　…0　。　7　2　0　。　2　3　5　8　0　。　9　0　0　。　8　1　5　9　
…2　。　8　0　0　。　0　0　2　6　…0　。　7　0　0　。　2　4　2　0　0　。　9　2　0　。　8　2　1　2　
…2　。　7　5　0　。　0　0　3　0　…0　。　6　8　0　。　2　4　8　3　0　。　9　4　0　。　8　2　6　4　

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第21章期权定价
559
（续）　
d　N（d）　d　N（d）　d　N（d）　
…2　。　7　0　0　。　0　0　3　5　…0　。　6　6　0　。　2　5　4　6　0　。　9　6　0　。　8　3　1　5　
…2　。　6　5　0　。　0　0　4　0　…0　。　6　4　0　。　2　6　11　0　。　9　8　0　。　8　3　6　5　
…2　。　6　0　0　。　0　0　4　7　…0　。　6　2　0　。　2　6　7　6　1　。　0　0　0　。　8　4　1　4　
…2　。　5　5　0　。　0　0　5　4　…0　。　6　0　0　。　2　7　4　3　1　。　0　2　0　。　8　4　6　1　
…2　。　5　0　0　。　0　0　6　2　…0　。　5　8　0　。　2　8　1　0　1　。　0　4　0　。　8　5　0　8　
…2　。　4　5　0　。　0　0　7　1　…0　。　5　6　0　。　2　8　7　7　1　。　0　6　0　。　8　5　5　4　
…2　。　4　0　0　。　0　0　8　2　…0　。　5　4　0　。　2　9　4　6　1　。　0　8　0　。　8　5　9　9　
…2　。　3　5　0　。　0　0　9　4　…0　。　5　2　0　。　3　0　1　5　1　。　1　0　0　。　8　6　4　3　
…2　。　3　0　0　。　0　1　0　7　…0　。　5　0　0　。　3　0　8　5　1　。　1　2　0　。　8　6　8　6　
…2　。　2　5　0　。　0　1　2　2　…0　。　4　8　0　。　3　1　5　6　1　。　1　4　0　。　8　7　2　9　
…2　。　2　0　0　。　0　1　3　9　…0　。　4　6　0　。　3　2　2　8　1　。　1　6　0　。　8　7　7　0　
…2　。　1　5　0　。　0　1　5　8　…0　。　4　4　0　。　3　3　0　0　1　。　1　8　0　。　8　8　1　0　
…2　。　1　0　0　。　0　1　7　9　…0　。　4　2　0　。　3　3　7　3　1　。　2　0　0　。　8　8　4　9　
…2　。　0　5　0　。　0　2　0　2　…0　。　4　0　0　。　3　4　4　6　1　。　2　2　0　。　8　8　8　8　
…2　。　0　0　0　。　0　2　2　8　…0　。　3　8　0　。　3　5　2　0　1　。　2　4　0　。　8　9　2　5　
…1　。　9　8　0　。　0　2　3　9　…0　。　3　6　0　。　3　5　9　4　1　。　2　6　0　。　8　9　6　2　
…1　。　9　6　0　。　0　2　5　0　…0　。　3　4　0　。　3　6　6　9　1　。　2　8　0　。　8　9　9　7　
…1　。　9　4　0　。　0　2　6　2　…0　。　3　2　0　。　3　7