弗里德曼文萃-第44部分
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假定财富效用函数是处处下凹的。那么，财富的最优分配明显地是平均主义的。这些鲁宾逊·克鲁苏将把他们的财富汇积到一起，然后每人从中取走一定比例的份额。在另一极端下，假定财富效用函数是处处上凹的，那么，收入的最优分配明显地将是尽可能地不平等。这些鲁宾逊·克鲁苏将把他们的财富汇积到一起，然后每人得到一张彩券，这种彩券为每人赋予了赢得与总财富价值相等的这唯—一份奖品的同等机会。
我们要分析的一更为有趣、且在实证上更为相关的效用函数是有着这样一种形状的效用函数：这种形状是我与萨维奇为说明风险情况下关于行为的几种简单的、且广为接受的实证概括而提出的。我们所提出的函数最初是下凹的，然后上凹，最后又下凹，如图14·1中的U（W）曲线。
令 为最大的预期财富值（当每一个人都采用活动a ** 所实现的）。考虑一下这样一种预期：它是由W的两种价值W l 与W u 所组成的，从而有 ，且相关的概率为p与p u ，从而有 。与这一预期相对应的预期效用是由连结U（W l ）与 之弦在W点的纵坐标所绘出。从几何图形上看很明显：如果存在着一条与图14。1中的效用函数切于两点的直线，且如果W介于二切点的横坐标（我们可以用W 1 与W 2 来表示且W 2 ＞w 1 ）之间，那么，如果W l 与W u 分别等于W 1 与W 2 的话，则这一预期效用为最大。从而，相关的概率p l 与p u 将分别为 及 。我们将这一预期称作a d （d代表着“双重相切”）。
任一具有预期值 的更为复杂的预期，都总是可以表示为许多单值或双值的预期（每一预期都有着同样的预期值承）的一种概率组合。所以，这种更为复杂的预期的预期效用，可以被表示为这些单值或双值的预期（这一更为复杂的预期可以分解为这些较简单的预期）的预期效用的期望值，所以，它不可能超出具有最高期望值的这一单值的或双值的分预期的预期效用．结论是：对于由具有图14。1中的效用函数的个人所组成的社会来说，a d 是每一成员的最佳预期选择．在我们的种种假设之下，a d 也将是实现了的财富分配。
与这一结论相关的一个十分显著的特征就是：如果我们完全放弃到目前为止所作的这一假设，即对于所有的个人来说，活动集合A与相关的预期Pa（W），都是完全同一的，这—结论仍然是正确的（在一很小的限制条件下）。在我们的其它假设一定的条件下，财富的事后分配仅取决于效用函数的形状及对社会整体来说人均预期财富的最大值；根本不取决于不同的鲁宾逊·克鲁苏可得的预期方面的差异，而为确保这些结您所需的条件只是：对于每一个鲁宾逊·克鲁苏来说，具有最高的预期财富的这一预期的预期财富值介于W1与W2之间。为了证明这一主张，我们假定存在着这样两组人：这两组人中的每一个成员都有着同样的各种预期，且第一组中预期财富的最大值 （1） 不同于第二组中预期财富的最大值 （2） 。通过前面的分析我们知道，每一组的成员都将分别地上交他们的财富，然后每一成员将得到一张彩券作为回报，这一彩券赋予他（W 2 … （i） ）/（W 2 －W 1 ）的机会得到W 1 和（ （i） …W 1 ）/（W 2 －W 1 ）的机会得到W 2 。假定第一组占总人数的份额为n （1） ，第二组占总人数的份额为n （2） ，从而n （1） （1） ＋
n （2） （2） =W，这就是对于社会整体来说最高的预期财富。最终的结论是：
实现财富 W 1 的概率为与下式相等的一个分数：
（3）
而实现财富W 2 的概率则为1减这一分数所剩的值。但是，这与所有的人都具有同样的预期系列，且财富的最高预期值为 时所得到的结论是完全一样的。更为一般地说，最终的结论是：每一个人都采用具有最高的财富预期值的那种活动，并将他的所得贡献给公共积累，然后得到一份保证书作为回报，这一保证书确保了他将得到财富W 1 及赢得一价值为W 2 －W 1 的唯一奖励的机会，对于第i个个人来说，这一机会的大小等于（W （i） …W 1 ）/（W 2 －W 1 ），这里 （i） 是该个人所贡献的预期财富。所以，最终得到财富W2的机会将按照个人的预期的把握程度而因人而异，但是，所实现的财富的最终分配却是相同的，就好象所有的人都具有同样的预期系列一样。
放弃“所实现的W值（在再分配之前）．在统计上是无关的”这一假设同样不会对这一结论产生很大的影响，尽管这一结论更为复杂了。考虑这样一种极为特殊的情况：在这一情况中，知道某一个人的结果就意味着完全知道所有人的结果。让我们假定：第一，对所有的个人及集合A中的任一a来说W的所有可能值介于W 1 /与W 2 之间。那么，不论所采用的活动是什么，事后将存在着某种实际实现了的价值，且前面的分析表明：这些个人将汇集他们的W，并以投机的方式来进行总量的再分配。所以，实现了的财富分配将由两组个人所构成：一组中每一成员都得到W 1 ，而另一组中每一成员都得到W 2 。只有最终地归于某一组的所有成员的比例取决于实际的结果。事先，在一适当的再分配协议之下，预期效用随预期财富的增加而增加，所以，再一次地。对于所有人来说，最好采用确保最高的预期财富的那种活动。而且再一次地，个人在可得的预期系列方面的差异并不影响最终结果，而只影响到每人所得到的彩券的数量。如果对于集合A来说W的所有可能值并不介于W 1 与W 2 之间，那么，具有最高的预期财富值的a可能不再是最佳选择。但是至少下述结论仍然是成立的，即事先协议安排将能够确保：如果实际实现的W（再分配之前）介于W 1 与W 2 之间时，那么它将被如此地再分配从而得到价值W 1 与W 2 ，结果在所有的情况下，最终实现的财富分配将不落在W 1 与W 2 之间。
“所有个人的偏好（即效用函数）都是同一的”这一假设也可以被去掉而不会对我们下面这个一般性结论产生影响；只要再分配是没有代价的，那么财富之不平等将主要地取决于社会成员的偏好，而只是辅助性地（如果还有一些的话）取决于他们可得的预期系列。然而，放弃这一假设改变了下面这一较为特殊的结论：所实现的财富分配通常将是双值的。令每一个人都分别地具有这样一种效用函数：其一般形状与图14·1中所描绘的完全一样。但是，令这一效用函数的双切线的2个切点的横坐标W 1 与W 2 因人而异（W 1 与W 2 是对目前问题来说唯一有关该函数的2个参数），且用W 1 （i） 与W 2 （i） 来代表第i个人的W 1 与W 2 值。分别地对每一个人来说，最优的再分配安排基本上与前面所讲的情况相同：得到财富W 1 （i） 的机会为（W 2 （i） … （i） ）/（W 2 （i） …W 1 （1） ），而得到财富W 2 （i） 的机会为（ （i） …W 1 （i） ）/（W 2 （i） …W 1 （i） ），这里，W （i） 是该个人所能采用的任一活动所得带来的预期财富的最大值。而且，没有任何东西可以阻止这样一种协议的被采纳：每一个人都采用能确保最大的预期财富的这种活动，向公共积累中贡献所得产品，然后得到一张彩票作为回报，这一彩票赋予他的得到财富W 1 （i） 或W 2 （i） 的机会如上。既然每一张彩票在保险统计上都是“公平的”，那么整个投机也必然是公平的；而且只要Pa （i） （W）能够较好地运行，且W 2 （i） 是有限的，那么，大数法则将依然适用。所以，对于数量足够大的个人来说，这一投机作为一整体来说所存在的不确定性是可以忽略不计的。在这种情况下，实现了的财富分配除取决于最大的预期财富外，还取决于W 1 （i） 与W 2 （i） 的分布情况。偏好方面的差异所具有的影响表现在：将额外的价差引入到偏好一致情况下所实现的财富分配中去，而这一偏差的大小取决于偏好方面的差异程度．正如我们在下一段中所将看到的那样，再分配之成本有着非常相似的作用。
3．社会中的个人 涉及耗费的再分配
再分配安排（特别是通过它们对“积极性”的影响）所带来的大量耗费，使得某些在不存在大量耗费的情况下将是理想的安排被排除在外，结果是：为“大自然”所提供的机会种类，即预期的原始集合P a （W），不仅仅影响着财富分布的均值，而且还影响到了财富分布的形状。这一影响在于产生了某种混合物，它介于第一部分中对与世隔离的个人所作的结论与第二部分中对一个再分配没有耗费的社会中的个人所作的结论之间。
也许，将这两种情况结合起来的最简单的模式就是假定：每一个人所可能采用的活动可以划分为两种相互独立的且无竞争的集合———一种是活动集合A s ，这些活动的所得是不受再分配的影响的；另一种是活动集合A r 这些活动的所得可以在无耗费的情况下进行再分配。接下来，个人将从每一集合中选择一种活动。再分配之前，个人所实现的财富由二部分所构成W s 与W r ，而在再分配之后，则由W s 与W r ’所构成，所以，他的最终财富是W s 十W r ’。现在，每一个人所涉及的是W s 十W r ’的概率分布，而不是其中某一个的概率分布。
如果效用函数的形状如图14·1中的U（W），且（为了简便起见）对于所有的个人来说效用函数都是相同的，那么，最优化的再分配安排将是什么呢？现在，实现下述最佳选择已不再可能了：一个具有最高的期望值及适当的概率的双值预期，这一预期或得到W 1 或得到W 2 。原因在于，不论采取何种再分配安排，如果我们假定（正如似乎是理想的那样）W r ’不取决于实现了的W s （尽管它可能取决于预期的Pa s （W s ），那么，将无法抵消或避免W s 所面临的风险。很清楚，来自于A r 的最好选择仍然是具有最高的预期财富的那一个——既然W r 的任一理想的再分配都是可以实现的，那么，使得可供分配的总量尽可能地大并不会带来任何损失。此外，最好对来自于集合A s 的选择及再分配安排加以调整，从而尽可能地近似于最佳选择。
为了近一步地对最佳再分配安排的某些特殊之点加以探讨，毫无疑问地还需要对集合Pa s （W s ）的性质，也许还要对效用函数U（W）的性质作更为严谨的限定，其严谨程度高于到目前为止我们所作过的任何限定；存在着某种Pa s （W s ）。它将能证明任何一种再分配安排这似乎并不是不可能的。我并不准备对这一问题作详尽的分析。但是我认为，对于很大一部分函数Pa s （W s ）及效用函数U（W）来说，最佳的再分配安排与第二部分中所述的情况是完全一致的，而且，即使预期系列因人而异，这一点仍然是正确的。在进一步分析之前，我将暂时地接受这一看法，并假定：Pa s （W s ）及效用函数U（W）具有为使之合�
