黄万里文集-第6部分
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？ ？ ？ y
（x ； z ） ？ y （x ； z ）
？ U 2 / 2 g
1 ？ U ？
？ ？ ？ ？
r
P = ？ x c y m z m b ＋ ＋
＋ ？Udzdydx
= min
？Pr
0 0 0 ？ ？ x
= 0 。
？ x ？ x
g ？ t ？
二维方程：当 zm ？ ？ ，取单宽 U = U（y； x），非恒不匀流。
？ ？ ？y
（x ）
？y（x）
？U 2 / 2 g
1 ？U ？
？ ？ ？
r
P = ？ xc ym b ＋ ＋
＋ ？Udydx = min ， ？Pr
= 0 。
0 0 ？ ？x ？x
？x g
？t ？
一维方程：非恒不匀流，U = U（x）为断面均速，Q = Q（x）
？ ？ ？y
（x ）
？y （x ）
？U 2 / 2 g
1 ？U ？
c
x
Pr = ？ ？
b ＋
m ＋
＋ ？Qdx = min ， ？Pr
= 0 。
？
0 ？ ？x ？x
？x g
？t ？
一维准均匀流： i f
？ J ？ i ，J 接近确定，不需要 Pr ？ min 式子。上列各式
可推导出流速、压力的空间分布、断面分布或垂线分布。
例如在恒定非匀流中， x = x1 断面上，若不知其水面下水深 ym ？ yb ，欲求其
流速垂线分布公式的格局： yb 给出， ym 为变量。
？ ym 2
b
y
？Pr = ？？ ？x ？0
（？ y ＋ y ＋ Uy
/ 2 g ）U dy = 0
？ ？ Uy 3 ？
？？ ？ ？ y Uy ＋ yU ＋ ？ = 0 。
？x b y g
？ 2 ？
在均匀流情形下，括号内为常数。
31
？ Uy 2 ？
Uy？ ？ yb ＋ y ＋ ？ ＋ c = 0
g
？ 2 ？
Uy3
？ U 2 ？
y
＋ （？ y
2g b
＋ y ）U
？ U b
？ ？ yb
？
？
＋ b ？ = 0
？
2g ？
垂线上流速分布公式 U y ~ y ，底速 U b 由糙率决定。
可见 Pr 为一组未定函数或泛函数，其中只有一函数是现实的，得用变分法确
定。这是定律的数学涵意。
？ ？ y ＋ y ＋ ？ = = 0 原则仍合，
？ ？ U 2 ？ ？？
当非均匀流转化为均匀流时， i f ？ i = ？x b g x
？ 2 ？ ？
极值转化为常值。
但是在均匀流中， ym 和 U 等并非按极值决定，而由 St。 Venan 方程组解出。
因实现的 i f
= J = i ，是按自然赋给的全部底坡 i 出现，它已经代表均匀流下最大
可能的能量消散率了。注意这里的假设是把渐近线看作是直线。
七、沙流浓度场分析
泥沙在水流中的浓度分布和水流的流速场、压力场等一样，应遵从最大能量
消散率定律，沙粒不仅随着水团运移，而且相对着有移动和转动之差；不仅须克
服粘性切力，而且须克服两种物体间的磨擦而消耗能量。若 Rouse…Ippen 的断面
浓度分布的推导是完整的，则其方程中所缺的未定部分应可由这定律来补足。
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含沙水流的损能未必可援用 Chezy 公式：公式的形式、系数和指数都应改变。
长期以来笔者认为这是应该最先研究的课题，把它掩盖起来是错误的研究方针。
八、长段非恒水沙流分析
U
？ 2 ？
2
g
？ c ？
由于在控制断面上的储存能率
？ yc ＋
？
？Qc ，同时又代表一长段水沙流同
？
时刻的储存能率，这就方便了非恒流的演算：输沙率长段内的冲淤率等。
九、可塑河槽的槽形研究
过去槽形研究中造床流率按最大频率的输沙率所对应的水沙流率，槽形则按
这流率下的最小槽底阻力分析。本定律——最大能量消散率是和最小槽底阻力等 原则相对立的。据此可研究出一套新的槽形理论分析。
十 、对于利 用“最小能量消散率定律 ”或利 用“ Prigogine 熵趋向最小值”
来分析河貌的不同意见。
首先这些都是力学的定律，是分析同一时刻发生的力能现象。不应和地貌分
析中诸因素间长期的经验统计关系合起来联解或相提并论。
Prigogine 原理虽是对一段时间的，但也只能是对时程上限于一条流率时程线
的起伏过程，对路程上两个控制断面间的距离。然而讨论地貌的形成是至少经过
& &
了几十年的，这期间外加熵增率 Se 和自然产熵率 Si 已不知起伏了多多少少次，无
法分析其热力与动力的现象。
所以根本不适于用上述诸力学定律来讨论水文地貌的分析问题。
十一、所谓“能量消散率最大”是对比什么最大？
在§五里已 明确指出， 而且从现象 指出，这是 指任何时 刻 t 在 任何断面
x，
33
Q
&
P = （热能量增率） = P ＇（h；V ； ？ ？ ？ ）； （x ； t
）＇ = P
（h；V ； ？ ？ ？ ） = 最大
L ？ L
1 1 L？x = x1 ，
消散率
参变量
自变量
t =t1
同时， S&=体统在 t = t1 ，x = x1 处也是最大 =
Q& ？P
= L
= 最大。而且在任何 x = x1
T T
断面上，比熵 S&= ？S 最大。意思是，同样一组服从连续方程和运动方程的 h； V；
？x
？ ，……场，只有那组 h； V； ？ ；……场在任何 x，t 处造成最大的 PL ， Q&或 S&， s&
才会出现，而别的组是根本不会出现的，所以对比是针对那些不会出现的，也是
非现实的，虚拟的（Vitual）压力 h 场、流速 V 场和密度 ？ 场的。数学物理学中
就是这样用泛函（Functional）和变分法（Variational method）来推求那些未知的
物理量。
& &
Prigogine 学说是，产熵比率 S&是随着时程而递减的。即 ？S 《 0 ，若 ？S 《 0 ，
？t ？x
&
则合起来 dS 《 0 ，这是指不同时刻 t 之间各 S&的对比规律，和 S = 最大定律不一
dt
样，但不相抵触，而且是后者的推论。
十二、这个定律的证明
x；t
凡是一个定律，据理，是不能从本定律的推理范围里证明出来的；但是它在
规定范围里对任何实例都能适用，且获得证实，若有一个例子不能证实，则这定 律整个不成立。
最大能量消散定律的证明载于原文附录中，是用变分法引证的。又比熵增率
S 最大的定律载于《增订非平衡热力学定律》，是用统计力学的方法证明的。
为了说明能量消散率最大，另外提供了一些实例，见图 4。1）以前说的是水
力学中控制断面处消散率最大的现象也导出任一断面都是最大。这可替代并解释
了 H~Q 关系。2）球在平板上滚下，只会沿最陡坡降 OA 滚下。那样当任何时刻
t、任何地点 x、能量消散率总是最大。而虚拟的 OB、OC 路线则斜率小，其消散
率也小，是决不会出现的。3）固体受压后变形的功在静荷载过程中，假定无穷时
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间下变形，损能 = O，从 O 至 A 点静止。外力所施之功等于变形到头的变形功。
服从 Castigliano 最小储能即变形功最小的定律。 设在上 述静 载基础 上在 ？t
时间内再 加力 ？P ，新 生变形
AB，至 B 而停止。这时总荷载
P＋ ？P ，变 形 OB ，仍应 服从 Castigliano 定理，储藏能最小。 两次储能都是最小，而 P 是
任意值，所以其差值 ？P 在 ？t 时 间内，所 增添的储 存能率
s
？P / ？t ，也是最小。给定的总功 率 E&是变形的能率 E& ，动能变率
d
K
E 与消散 能率 E&
之和：
& & & & & &
E = Es ＋ EK ＋ Ed 。因为 Es ＋ EK =
d
最小， E&是给定的，？ E& = 最大。
这三个例子都说明消散率为最大。只要一个例存在就足以否定能量消散率
最小的幻想了。（据定律的逻辑含义。）况且谁也拿不出一个例子说明消散率表现
为最小。若真有人能举出一现象实例，就可反过来推翻最大消散率的定律。请大 家多多想想究竟是最大还是最小，把它确定下来。
十三、用水流现象来解释熵的变化— —最大能量消散定律 和 Prigogine 定理
热力学指出， S = ？V ？sdV ， M = ？V ？dV ， S&= dS ， s&= ds ， S&= S& ＋ S&，
dt dt e i
&
其中，下标 e ——exterior 外界来的，i ——interior 内部自发的。按第二定律，Si ？ 0
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& Q&
（平衡情形= 0；不可逆情形 》 0）， s&i ？ 0 ， Se = 外界来的热或机械功。可正
T
可负。 S ？ Q&
T
（封闭系统）。
S = ？V ？dV
其中， ？ 为单位容积产熵率， si 单位质量产熵率。 熵 S 的物理意义可从比仿而体会。
p ？ （？ V ） = 机械功
& &
Se ？ Se ＋ Si ？ Q&/ T
T·S = 热能 （Q；P； ？ ）
强列性、延展性变量
& &
Prigogine 定理是，不单体内 S i （不包括 S e ）总是增加着的，即 Si ？ 0 。但其
？S
&
i
增率则循时而减着：
？t
《 0 ，达一最小值而静止并稳定。最大能量消散率定律是，
&
不单体内 S i 总是增加的，即 Si ？ 0 。
i
而且其增率 S&在随时随地其有关组成因素，A，B，C，…总是自动地组合得
& &
使 S i 最大，只有这最大的 S i 才会出现，其它绝对不会出现。
S
=
&
i
t = t1
i
S&（A，B，C，……）
t = t1
x = x1
dS
&
i
x = x1
dS&dA ？S&dB
＋ ＋ ？ = 0
= ？
dt ？A dt
& &
？B dt
&
？S
？ = 0
？A
？S
= 0
？B
？S
= 0
？C
这是一般性的物理概念，怎样在水流现象里体现呢？请参考图 1 和图 2 上的
两图，在任一断面 x 上从水平线 H0 HC 向下量到实际能坡线，PL 和 S&表示这断面 x
上的总体的能量消散率和产熵率。它们分别比量到相应的虚拟能坡线为大，所以
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说， PL 和 S 在任一 断面 x 上总是出现最大的值。又在任一 x 断面上
？S&
？PL 和
？x
= S&= i （一元运动中）也总是出现最大的值。当然，它们同时为连续方程和
？x f
运动方程所制约，以连成一条落水线和能坡线。
注意这个比熵 S&是 S&和 S&的总和：S&= S& ＋ S&。S&外界进入体统的比熵是什
e i e i e
& & &
么呢？它即槽底坡降 i（另乘一常数免计），所以 Si = S ？ S e = i f
？ i ，这个不断自
& ？ ？
V 2 ？
发地增值着的 Si ？ 0 ，也就是 Si = ？x ？ h ＋ 2g ？ ，即等于储存能的沿路程递减度，
？ ？
在控制断面 xc 上，它为 0； S i = 0 = i f
？ i ，？ i f = i 。用 Prigogine 的话说就是自
发产熵率 S i 沿程（时程及路程）递减，迄控制断
面而驻定（Stationary）。注意他并未说：各断面 x
& &
上 S i 为最小。而作者提出的是：任一断面上 S i 出
现的是最大可能之值，这和他的说法并不矛盾， 两者讨论的范畴是相正交的，是风马牛不相及的，
但是相辅的。
最 大能量消 散率定律 把热力学 第二 定律
i
Si ？ 0 进一步增订为 S& = S
ix = x1 ；t =t1
（P。 V。 T。 ……）=最大，籍此可具体地定出各未
知因素，而不再是 Clausius Duhem 定律中只能定出未知因素的极限值，它是力学
的一个新的定律。
十四、最大均匀流中最大能量消散率定律仍然适用
在恒定均匀流中水面线、能坡线和槽底线平行只是一假设，实际上是两条渐
近线各和水面线和能坡线相切，所以这个定律仍然适用，于是有许多目前未能解 决的水流问题都得迎刃而解了。
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图 6 所示能坡线 PL ~ x 中在一定断面 x 上有某个 PL ， S&~ P ，V，T 等关系
c
线和 PL ， S&~ x 能坡线成正交，这种线在 x 处较陡；在 x 越小的断面上曲线越坦
开；到 x 极小，能 坡线渐切 近直线处 ，则曲线 平坦得近 乎直线了 。
？ ？ V 2 ？
i f ？ i =
？ h ＋ ？ ？ 0
？x g
。假定 三线平行 ，就是渐 近线到达 极限线，
？ 2 ？
？ ？ V 2 ？
i f ？ i =
？ h ＋ ？ = 0 ， i f
？x g
= i = J 。这时所有自然赋与的能坡 i 全部消散掉，仍
？ 2 ？
然符合最大能量消散率之本意。 说明定律的普遍性含义。
十五、力学分析和统计分析
力学分析是对现象同一时刻的分析。
统计分析是对现象长时段内综合的分析，杨志达和 Leopold 等把它们混淆起 来，论理只能用前者解释后者，不能用后者解释前者。
例如 Leopold 在他的书里，请读《
