黄万里文集-第4部分
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那里的平均流速等于坡速，从此以下流态变为射流，各质点好象分散似地个别流
出。这个断面就是独立系统缓流整体的下端断面，其中各点的流速皆小于波速， 而压力则三向齐等。
兹将流体动力学第二定律，即最大能量消散率定律申说如次。
流体或参有固体的多种流体在一独立系统内，在给定初始或边界条件下流动
时，在任何时刻的密度、速度和压力总是这样地分布，使得系统整体的能量消散 率随时为一最大值。
能量消散率，亦即每单位质量当时程 t 机械能转化为热能的变率是＇1 ＇
？E ＋ ？？
？U
1
？？
v
= ？？ i
？
？
j
2
？U ？
＋ ？
？
？ ？u
？
j
＋ ？ i
j
2
？u ？ ？
＋ ？ ？
j
（13）
？t ？t
2 ？？ ？X j
？X i ？
？ ？X
？
？
i ？ ？
其紊流的整体均值则为
？
？E ？？
1 ？ ？U
2
？U ？
？
j
？ ？u
？
？X
2
？u ？
＋ = v？？ i ＋ i ？
＋ ？ i ＋ = j ？ ？
（14）
？
？t ？t
2 ？？ ？X
？？
？ i
？X i ？
？ ？X
？X ？ ？
？
？E ？？
式中 为由于 平均流速 梯 度、 为由于 紊动流速 梯 度每单位 质 量的能量 消 耗
？t ？t
率。前者较之后为量甚微，可以忽略不计，因此消散率可简单地表达如下：
16
？？ 1 ？u
2
？ ？u ？
？X
？X
= v？ i ＋ = j ？
（15）
？
j
？t 2
？ ？
i ？
其紊流的整体均值则为
？？ 1 ？u
2
？ ？u ？
？X
？X
= v？ i ＋ = j ？
（16）
？
j
？t 2
？ ？
j ？
？EMT ？
？？ M ？
按照流体力学第二定律，独立系统整体总的能量消散率
？t
大：
？ =
？ ？t
？ 随时为最
？
？ E MT ？
？ ？ M =
O
？y
O
？X
？Z
2
X C y bm
Z m ？ ？
？ dzdydx
？ t ？ t
bO ？ t
？ X C
y bm
Z m ？ ？ u
？ u ？
？ i
= j ？
dzdydx
= 最大（17）
= ？ X ？ y ？Z ？ ？
＋ ？ ？
2 O bO
O ？ x j
x i ？
前列各式中粘度 ？ = ？？ ，注脚 O 及 m 表示积分极限。此式若无横线也适用于任
一时刻的能量消散率。
按最大极限的必需条件：
？ ？E ？
d ？ MT ？ = 0
（18）
？ ？t ？
在给定的边界条件里，明槽的立体几何表面可以下式之一表示：
b
b
zb = zb
（x；
y ），或 y
b
= yb
（x； z ）
（19）
式中 yb 为槽面某点的铅直坐标，zb 为这点的槽宽，明槽的深水线纵剖面可以下式
表示：
ybo = ybo （ x；
zb = 0） = ybo （ x）
（20）
从式（18）可得三偏微分方程：
？ 2 E
？ 2 E
？ 2 E
MT = 0 ， MT = 0 ，及 MT = 0
（21）
？xc ？t
？ybm ？t
？zbm ？t
17
y bm
j
z b （ x ； y b ） ？ ？ u
x c
2
？
？ u ？
或 ？ ？
？ i ＋
= j ？
dzdy = 0
？
y bo （ x ） o
bm
？ ？ x
？
b b ？ ？ u
？ x j ？
2
？ ？
x = 0
y bm
z x （ y ； z
） ？ i
u j ？
j
？o ？o
？ ？ x
＋
？ x j
？ dxdz
？
2
= 0
y = y b o
z bm
（22）
？
c bm b ？ u ？ ？
x y （ x ； z
） ？ i
u j ？
bo
和 ？o ？y
？
？
2
bm
？ x j
＋
？
？ x j ？
dydx
= 0
z = 0
在原则上，这三公式可解出三个隐函数，其中一个是重复的。
1
bm
f （y
； xc
） = 0 ，
f （ y
； xc
） = 0
（23）
从式（19）xC 处的边界条件给出另一式：
c
bm
zbm
= zbm
（x ； y ）
（24）
最后，式（23）和（24）之联解，将在原则上定出控制断面的位置 xC ，以及那里
的水面高程 ybm 和水面宽 zbm 等。
在二元流中，式（15）、（16）及（17）将分别简化为下列形式，这里采用了 普通的符号：
？？ 1
？ ？ ？u ？ 2
2
？ ？v ？
2
2
？ ？u
？v ？ ？
= ？ ？2？ ？
＋ 2？ ？
＋ ？ ＋ ？ ？
（25）
？t 2
？？ ？ ？x ？
？ ？y ？
？ ？y
？x ？ ？？
？？ 1 ？？
？u ？ 2
2
？ ？v ？
？ ？u
？v ？ ？
= ？ ？？ 2 ？
＋ ？ 2 ？
＋ ？ ＋ ？ ？
（26）
？t 2
？？？
？x ？
？ ？y ？
？ ？y
？x ？ ？？
？？ ？
xc ybm ？？
？u ？ 2
2
2
？ ？v ？
？ ？u
？v ？ ？
及 M = ？ ？
？？ 2 ？
＋ ？ 2 ？
＋ ？ ＋ ？
？dydx = 最大
（27）
？t 2
xb ybo
？？？
？x ？
？ ？y ？
？ ？y
？x ？ ？？
18
三、应用水力学第二定律
前面的分析讨论了流体力学的基础理论。从这里可以见到，虽然那些偏微分
和积分方程实际上是不可能联解的，但由此可知，为了解答任何流动问题，除了
第一类守恒定律之外，存在着第二定律，它是不可缺少的。在某些情形里，例如
在一个水宽超过五倍水深的宽槽里，一个遵从边界约略性的剪力层二元流，就可 采用大大简化了的式子。
现在分析 应 用水力学 中 一个最简 单 的一元明 槽 流问题。 连 续方程的 形 式如
下：
？Q ？A ？U dA
＋ = 0 ，或 A ＋ = 0
（28）
？x ？t
？x dt
式中 Q 表示流程 x1 时程 t 的流率，A 横断面积，U 平均流速，运动方程的形式如
下：
2 2
dU ？U ？U U ？y U
= ＋ U = gS ？ g = ？ g bm ？ g
（29）
dt ？t ？x
C 2 R
？x C 2 R
？（h ＋ U 2 / 2 g ） U 2
1 ？U
或 = Sb ？ ？
（30）
？x C 2 R
g ？t
？
式中 S 为水面坡降， S = ？ ？ybm = S
？h
， S
= ？ybo 为底坡，h 为水深， y 水
？x b ？x
b ？x bm
U 2
面高程， ybm = ybo ＋ h ，R 水力半径，C 希舍糙度系数。 2 这一项相应于纳芙
C R
叶一司笃克斯公式中的能量消耗率。
？U
在恒定流情形下， = 0 。对于一个独立系统整体沿着流程 x=0 至 xC 积分
？t
后，这一运动方程就成为表示单位质量的能量的伯努力利方程（见图）：
？0
c
U 2 x U 2
h ＋ ＋
2g
2
=C 2 Rdx = ？ ybo （ xc ） ＋ 常数
（31）
xc U
式中 ？ dx 这一项代表总的水头损失，槽底高程， y 只是沿程 x 的函数（见
0 C 2 R bo
式 20），在 xc 处 ybo （ xc ） 也是常数。
19
连续介体动力学第二定律要求，h 和 U 2 / 2g 这样地组合使得总的水头损失为
最大：
2
xc U
？0 =C 2 Rdx = 最大
（32）
式（31）右边既为常数，则在各种 h 和 U 2 / 2g 的不同组合中，只有一种组合会使
那个代表特定能量（Specific energy）、或代表槽底 ybo 以上势能与动能总和的水头
为最小：
2 2
h ＋ U = 最小，或 h？ ＋ P ＋ U = 最小
（33）
2g ？ 2g
式中 h？ 和 P 表示在水深 h 的垂直断面上某一质点的水深和压力水头。
？
符合式（33）的断面就是流程 xC 的控制断面，水深穿过它时从缓流变为射流。
在 xC 处的断面平均流速 U 称为临界流速 UC = UXC = UWXC（断面波速），水深 h =
hc = hxc 称为临界水深。
这个在给定的流率下最小总水头的原理，又称为最小特定能量原理，普遍地
应用于实用水力学里。这原理最早于 1919 年首先为 P。 波丝所证明＇2＇ 。如上面所
20
导出的，这原理是流体动力学在一元恒定流情形下的一个特殊推论。同一原理的
另一种表达式是在给定总水头下的最大流率，称做培伦格原理＇3 ＇ 。查理·耶格于
1949 年建议称为培伦格原理波丝学说＇4 ＇ ，并强调说：“在这方面需要一个更高的
原理已甚明显——需要这样的原理，不仅能用于恒定流的特殊情况，还要能进而
阐明非恒流的一些现象（如斯考脱 — 罗舍尔的单独波，某些波种的稳定性，波
脊、防潮、防浪建筑的形式，紊流的现象，冲刷洞和河湾蜿蜒的形成等）”。本文
希望能有所贡献于耶格教授提出的这些要求。1939 年作者在四川省水利局讲授时
称第二定律为控制断面定律。
作者于 1955 年援用培伦格最大流率原理证明，当井流抽出最大流率时，井
流不透水层以上的地下水深总是供给它的地下静水深度的一半。
或许读者发生这样的疑惑：为什么流体动力学第二定律会得出这样的推论，
流动中能量损失总是趋向于最大，而不是最小，象许多河相学家和沙流水文学家
所设想者。这一绝然相反的分岐或许由于名称的译义不同：一损失的、消散的或
2
xc U
耗费的能量（即： ？ dx 项），相对于水流中储存的能量（即 h
＋ U 2 / 2g 这两
0 C 2 R c
项），或许由于数学法则中微分等于零之作为必需条件同样适用于最大和最小两
极，但不能作为足够的条件。第二定律对于水沙混合流也提供了新的概念和公式， 将于另文论述。
本文经孟昭英教授、林炳南教授、许协庆教授审阅，提出了宝贵的意见，作 者在此谨志谢意。
附录：
用变分法对最大能量消散率定律的证明
在分析力学里，变分原理曾用来推导汉米尔登最小的动能原理及高斯最小的
约束原理。但是，在这些推导里，对于一个具有质量 m 的动力系统，在给定的荷
载 ？ x（t ） 与施加的能率 E&之下，除了动能率 EK 和势能率 ES 所合成的总储存能率
& &
x； y ； z
21
& &
EC 以外，没有考虑到转化为热能的机械能消散率 Ed 。所储存的势能率 ES 可以再
& &
分为由于体力产生的势能率 ESb 和由于表面力 FS 的变形能率 ESS ＇或在流体力学里
由于单位压力 P 所产生的 E&
（？ pv） ＇。能率 E& 、 E& 、 E& 和 E& 是正交坐标
= d
SS dt
d K Sb SS
x； y； z（或任何其他广义坐标），速度 x&； y&； z&和时间 t 的函数，而给定的能率 E&则
只是 t 的函数。
能量守恒定律要求
& & & & & & & &
E = ？ XX = EC ＋ Ed = EK ＋ ESb ＋ ESS ＋ Ed
x； y ； z
（1）
交分原理提出
？E&= ？E& ＋ ？E& = ？ （E& ＋ E&
＋ E& ）＋ ？E&
（2）
C d K
Sb SS d
设想当任何时刻 t 在实际运动中从质点实占的位置 X（x； y； z）离开某一系列
连续位置位差 ？X （？x；？y；？z） ，又设想一系列连续位置位差 X ＋ ？X 作为某一变差的
途径， X&＋ ？X&， E&＋ E&？ ， E& ＋ ？E& ，……等相应作为同时发生的这途径上虚拟
C C
速度与各虚拟能变率等。按输入的能率 E&是一个非负值，不论在真实的途径上，
或在任何同时的虚拟的途径上，每一时刻所给定的值都应是相同的。所以变差值
？E&总应为零值：
& & &
？E = ？EC ＋ ？Ed = 0
（3）
C
从 E 所产生的储存能率 E& 也只能跟着是一个负非负值。又按热力学第二定律，
d
转化为热的能率 E& 本身总是非负的。所以
& & &
EC ？ 0 ， Ed ？ 0 ，当 E ？ 0
（4）
其次，当一个变差的或增添的输入能率 ？E&额外地施加于体统只会反应出一
22
& &
个增添的储存能率 ？EC 。同样，第二定律仍要出增添的某个热能转化率 ？Ed 也是
& &
非负的。总之，？EC 和 ？Ed 必跟着 ？E 为正为负同一符号。因为两者只会是相加的，
决不会抵销的。
C
所以，从式（3） ？E&= 0 ，可以导出，在沿着事实发生的途径上，位于 E& 、
d
E& 某一点上
？E& = ？ （E& ＋ E&
＋ E& ） = 0
（5）
C K Sh SS
d
？E& = 0
（6）
这就是实际发生的唯一可能的途径，那里，根据热力学的两个定理，总的储存能
& & &
率 EC 和化热的能率 Ed 都是驻值。这样，提供了在实际途径上（草图中 Aa）的 EC
d
和 E& 必然各是一个极值的必要条件。为了提供足够的条件，推论如次：
当 任 何时刻 在 任一同 时 发生的 虚 拟变差 的 路途上 ， 例如图 示 Bb
（ X ＋ ？
