科普-中华学生百科全书-第473部分

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M＝5×6×7×11＝2310
求得　M　对于每个因数的商数：

a1　=　2310　　　=　462
5
2310
a2　=　　　　　　　=　385
6

a3　=　2310　　　=　330
7
2310
a4　=　　　　　　　=　210
11
以各自的商数为基础，求得余　1　的情况：
3×462　1386
=　　　　　　　=　277Λ　Λ　余1
5　　　　　　　　　5
385
=　64Λ　Λ　余1
6
330
=　47Λ　Λ　余1
7
210　　=　19Λ　Λ　余1
11
再以实际上各项的余数代进去，得到
x0＝1×3×462＋5×385＋4×330＋10×210＝6731
由此，6731　是符合题意中的各项余数的，但这并不是小的解，因为　2310
能被各项都整除，所以要减去　2310　的数。
x1＝6731…2×2310＝2111
2111　为最小的解。但由于这是解不定方程，可以有无的解，其通解的形
式应该为
x2＝2111＋2310k（其中　k＝0，1，2，……）

幻方与数阵

将　1～9　这　9　个数字填在图　A　中的九个方格里，使每一横行、每一纵列和
两个对角线上的数字之和相等。首先我们注意到　1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。而
①＋②＋③＋
④＋⑤＋⑥＋⑦＋⑧＋⑨＝45，因此，①＋②＋③＝④＋⑤＋⑥＝⑦＋⑧＋⑨＝幻和，那
么应该有：幻和×3＝45，幻和＝45÷3＝15。又，①＋⑤＋⑨＋③＋⑤＋⑦＋④＋⑤＋
⑥＋②＋⑤＋⑧＝15×4＝60，也就是①＋②＋③＋④＋⑤＋⑥＋⑦＋⑧＋⑨＋3×⑤＝60，所
以，45＋3×⑤＝60，⑤＝5，即

中间的数应当为　5，其他位置上的数，如果①填奇数，因为①＋⑨＝10，
所以⑨也是奇数。④、⑦同奇或同偶，当④、⑦同为奇数时，⑧和⑥也应是
奇数。因此共有　6　个奇数，又因　1～9　只有　5　个奇数，发生矛盾。当④、⑦同
偶时，⑧与⑥也应为偶数，③也应为偶数，这样共有　5　个偶数，也与　1～9
只有　4　个偶数矛盾。因此①是偶数，同理③、⑦、⑨也都是偶数。又①＋⑨＝
③＋⑦＝10，于是就得到所求解。如左图。

伐木人的争论

伊格纳托夫是前苏联著名的科普作家，他一生写下了许多题材新颖、内
容丰富、形式活泼的作品，伐木人的争论是其作品中的一道题。
尼基塔和巴维尔是两个伐木人。有一天，两人干完活正准备吃饭，迎面
走来一个猎人：“你们好啊，兄弟们！我在森林里迷了路，离村庄又远，饿
得心慌，请分给我一些吃的吧！”
“行啊，行啊，你坐下吧！尼基塔有　4　张饼，我有　7　张饼咱们在一起凑
合着吃吧。”巴维尔热情地说。尼基塔也随声附和着。于是三人平均分吃了
11　张饼。吃过饭，猎人摸出　11　个戈比，说道：“请别见怪，我身上只有这
些钱了，你俩商量着分吧！”
猎人走后，两个伐木人争论起来。尼基塔说：“我看这钱应该平分！”
巴维尔反驳说：“11　张饼的钱是　11　个戈比，正好是　1　张饼　1　个戈比，你应
得　4　个，我应得　7　个！”
他们俩的算法，谁的对呢？显然尼基塔的算法是错的，两人带的饼的数
目不同，当然分得的钱也应不同。再看巴维尔的算法：11　张饼，11　个戈比，
每张饼　1　个戈比，看起来非常合理，如果问题是“猎人用　11　个戈比买了　11
张饼”，那么巴维尔的算法的确是正确的。可问题是“3　个人平均分吃了　11
张饼，并且尼基塔和巴维尔带的饼又不一样多。”实际上，11　张饼平均分给
3个人，就是说，每人吃了11张饼。尼基塔有4张饼，自己吃了11张饼，
3　3
他给猎人吃了411=　张。而巴维尔也吃了11张，他分给猎人711=　张。
1　　　　　　　　10
3　3　　　　　　3　　　　　　　　　　　　　　　　　　3　　　　3

猎人吃了　张饼，付给11个戈比，也就是说，每次13张饼猎人付给一个
11
3
戈比。他吃了尼基塔1张饼，故尼基塔应得1戈比，他吃了巴维尔10张饼，
3　　　　　　　3

巴维尔应得　10　戈比，两个人的算法都错了。

36　名军官问题

设有　6　种军衔和来自　6　个团的　36　名军官，能不能把他们排成　6×6　的队
列，使得每行每列里都有每种军衔的　1　名军官和每个团的　1　名军官呢？
这是　18　世纪瑞士数学家欧拉提出的一个趣味数学问题。它在统计学，尤
其是在试验设计中有重要的影响。
为了易于说明，我们先考虑有　3　种军衔和来自　3　个团的　9　名军官。用　1、
2、3　分别表示　3　种军衔，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ表示　3　个不同的团，这时，相应的问题
的解答是：
1　　　　　　　　　　　　　Ⅰ　Ⅱ　Ⅲ
3　　　　2　3
2　1　　　　　　　Ⅲ
Ⅰ　Ⅱ
2　　　　3　1　　　　　　　Ⅱ　　　　　　Ⅲ　Ⅰ
军衔阵列　　　　　　　　　　团阵列

（1；Ⅰ）　（2；Ⅱ）　（3；Ⅲ）
（3；Ⅱ
）　（1；Ⅲ）　（2；Ⅰ）
（2；Ⅲ　　）　（3；Ⅰ）　（1；Ⅱ）

上面军衔阵列和团阵列分别是由　3　个不同符号构成的　3　行　3　列的阵列（3
×3），其中每个符号在每行与每列恰好只出现一次，我们把这种阵列叫　3
阶拉丁方。而并置阵列中　32个有序对都是不同的（即并置后，所有可能的　9
种情况都出现了），称军衔阵列和团阵列是正交拉丁方。
那么，36　名军官问题就成了：是否存在　6　阶正交拉丁方呢？欧拉曾猜想，
阶数为　4k＋2（k　是正整数）的拉丁方，任何两个同阶的拉丁方都不是正交的。
容易证明　2　阶拉丁方不正交。1901　年法国数学家　Tarry　用穷举法证明了不存
在　6　阶正交拉丁方。直到　1959　年才有　3　位统计学家终于证明了，除了　2　阶和
6　阶外，其他情况都有解。欧拉的猜想中，除这两种情况外，其余都猜错了。

龟和鹤

龟和鹤都是长寿的动物。一天鹤爹与鹤子遇见了龟祖和龟孙，彼此谈起
了年龄。原来鹤爹的年龄是鹤子年龄的　2　倍，龟祖的年龄是龟孙年龄的　5　倍。
它们年龄之和如果乘上　3，等于　900　岁。如果再过　10　年，鹤族年龄的　5　倍加
上龟族的年龄也是　900　岁。问现在它们的年龄各是多少？
解答：设鹤子现在的年龄是　x，龟孙现在的年龄是　y。则鹤爹现年为　2x，
龟祖现年　5y，有方程：
3［（2x＋x）＋（5y＋y）］＝900
10　年以后，鹤子、鹤爹的年龄分别为　x＋10　和　2x＋10，龟孙、龟祖的年龄
分别为　y＋10　和　5y＋10，于是又有方程，
5［（x＋10）＋（2x＋10）］＋（y＋10）＋（5y＋10）＝900
联立两个方程，简化为：
5x＋2y
x＋2y　=100
=　260
解得：
y　x　=　40
=　30
因此，鹤子现年　40　岁，鹤爹现年　80　岁，龟孙现年　30　岁，龟祖现年　150
岁。

乘车者的常识

有一个乘车者经常坐从东郊到西郊的公共汽车。一天，他嫌车太挤，就
沿着公共汽车行车路线走。这时，他发现对面来的公共汽车每隔　6　分钟遇见
一次，而背后开来的公共汽车每隔　12　分钟超过他一次。他心算了一下，就知
道，这条路线上的公共汽车是隔多少分钟发车一次了。你也能算出来吗？
解答：假设公共汽车的速度是　y，人的走路速度是　x，又设两次发车间隔
时间里，公共汽车行驶的路程为　S。
那么，在迎面见到公共汽车的情况下，每经过　S　距离的时间是　t1＝6　分钟，
S
并且
x　＋　y　=　t。

同样，在相同方向的情况下，每经过　S　距离的时间是　t2＝12　分钟，并且
S
y　x　　=　t。解联立方程组：

S
①
x　＋　y　=　t1

S
②
y　　x　　=　h2

将①化简为：
x　y　　　　　　　　　1
＋　　　　　=　　　　　　　　　　③
S　S　t1
将②化简为：
y　x　　　　　　　　　1
=　　　　　④
S　S　t2
③、④相加：
2y　　=　　　　　1　　＋　1
S　　　　　　　t1　t2
∴Sy　=　＋　　1　　　　1
t1　t2
∵t1　=　6；t2　=　12
∴Sy　=　8

S
因为　正是每段间隔中所需的时间，即发车的间隔时间，所以每两个车
y
发车时间相隔　8　分钟。

两支蜡烛

停电时分，小曹点起了两支蜡烛。这两支蜡烛一般长，可不一般粗。粗
蜡烛可点　2　小时，细蜡烛可点　1　小时。来电以后，小曹吹灭了两支蜡烛，发
现粗蜡烛是细蜡烛长度的　2　倍。问停电时间有多少分钟？
解答：设停电时间为　x　小时。

粗蜡烛2小时点完，1小时可点1/　2根，x小时可点去　根，还剩1
x　　　　　　　　　　　　　x
2　　　　　　　　　　　　　2
根（即它剩下的长度）。
细蜡烛　1　小时点完，1　小时可点　1　整根，x　小时可点去　x　根（x　不到　1
根），还剩下的长度为　1…x。
x
于是：1…　=　2（1…x）
2
解方程，得　x＝2／3　小时＝40　分钟
因此，停电时间为　40　分钟。

说容易也难

电视机厂的一个组装班组。已知工作天数比班组人数多　2，如此组装的
电视机总台数是　1001　台，问平均每人每天组装几台电视机？
解答：因为总台数＝平均台数×人数×天数，所以总台数等于　3　个因子相
乘。由于　1001＝13×11×7，仅仅这一种组合方式，所以根据题意　13　应是工
作天数，11　应是班组人数。剩下　7　就是平均每人每天组装的台数。
这道题如果用解方程的办法来做，实际上是一个三次方程。
要解三次方程，可不是件容易的事。在历史上还发生过一次辩论，就是
因为争夺谁是最先发现三次方程解法的。最后，由于历史的误会，只好木已
成舟地命名它为卡丹公式，它是这样讲的：
如果要解一个一般的三次方程：
ax3＋3bx2＋3cx＋d＝0
只需要把方程转换为另一个三次方程：
y3＋3py＋2q＝0
其中：

x　=　y　　　b
a

p　=　　c　b2
a　a2

2q　=　2　b3　　　　　　　　bc　d
a3　　　3a2　＋　　　　　a
这时，可求得　y　的解：

y　=　q　＋　q2　＋p3　＋3　q　　q2　＋p3
3

b
由y的解，再通过x　=　y…　，转换成x的解。
a

卖花生仁

两个农村姑娘到集市去卖花生仁，她们一共带了　50　斤花生仁。回村的路
上，她们交谈着行情。原来她们一个带的花生仁多，一个带的少，但卖了相
同多的钱。大妞说：“若是我有你那么多花生仁，我能卖得　81　元钱。”二妮
说：“若是我有你那么多花生仁，我能卖得　36　元钱。”问两个姑娘各带了多
少斤花生仁？她们每人　1　斤花生仁各卖多少钱？由于大妞带的少，她们无形
中少赚了多少钱？
解答：假设二妮带的花生仁是大妞的　m　倍，既然两人赚得的钱数相等，
一定是大妞卖的价格贵　m　倍。这样，如果开始两人把花生仁交换过来，大妞
花生仁多　m　倍、价格又高　m　倍，她所卖得的钱就要高　m2倍，由此可得：

m2　=　　81　9
=
36　4

m　=　　　　3
2
现在一共是　50　斤，可知，大妞带了　20　斤，二妮带了　30　斤。
大妞　30　斤能卖得　81　元，她的卖价为　2．7　元／斤；二妮　20　斤可卖得　36
元，她的卖价为　1．8　元／斤。
假如对换以后，大妞卖得　81　元，二妮卖得　36　元，比实际可多赚：
（81＋36）…（2．7×20＋1．8×30）＝9　元
因此，无形中少赚　9　元钱。

你来当裁判

有一块土地南北长　a　米，东西宽　b　米，是一个矩形。这块土地分给甲、
乙两人承包。甲负责东西两边的绿化，乙负责南北两边的绿化。显然甲、乙
有意见，因为　a≠b，他们植树的工作量不一样。
那么，怎么让他们植树的长度一样呢？有人说：“把矩形的周长平均一
下，一人一半。”也有人说：“还不如把地重新分过，还是那么大面积，换
成正方形就行了。”
请你公正裁判一下，到底哪种办法更合理？而且对甲、乙两人都有好处？
解答：这里先给大家介绍一下两种平均值的概念：算术平均值和几何平
均值。假如有a、b两数，它们的算术平均值是a　　＋　b　，它们的几何平均值是　ab，
2
而且可以证明算术平均值总是大于或等于它的几何平均值。证明如下：

a＋　b　　　　　　　　　　1
ab　=　（a　＋　b　　2　ab）
2　　　　　　　　　　　2

=　（　a　　b）2
1
2
因为任何数的平方大于等于零
a＋　b　　　ab　=　（　a　　b）2　≥0
1
∴
2　　　　　　　　　　2
a　＋　b
≥　ab
2
对于本题来讲，第一种办法就是用算术平均值，周长为　2（a＋b），一人一半
为　a＋b，也就是在矩形四周找两个分界点，使大家都占　a＋b　的长度。
第二种办法是几何平均值，在保证土地面积不变的条件下，改变矩形的
边长，成为正方形，这时正方形边长为　ab。
由上述证明可知：a　＋b≥　ab，所以第二种平均办法对甲、乙都有利。

一家人的年龄

小康的一家　3　口人，女儿、妈妈和爸爸的年龄分别能被　3、4、5　整除；
而明年，他们的年龄又分别能被　4、5、6　整除，13　年以后，女儿上了高中，
全家的年龄之和也闯过了　100　大关。问今年小康一家人的年龄各是多少？
解答：设女