科普-中华学生百科全书-第471部分

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12345679×12＝148148148
12345679×15＝185185185
12345679×57＝703703703
轮流“休息”　　当乘数不是　3　的倍数时，此时虽然没有“清一色”或“三
位一体”现象，但仍可看到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同。缺什
么数存在着明确的规律，它们是按照“均匀分布”出现的。另外，在乘积中
缺　3、缺　6、缺　9　的情况肯定不存在。
让我们看一下乘数在区间［10～17］　的情况，其中　12和15　因是3的倍数，
予以排除。
12345679×10＝123456790（缺　8）
12345679×11＝135802469（缺　7）
12345679×13＝160493827（缺　5）
12345679×14＝172869506（缺　4）
12345679×16＝197530864（缺　2）
12345679×17＝209876543（缺　1）
乘数在［19～26］及其他区间（区间长度等于　7）的情况与此完全类似。
乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，但也不
能多吃多占，真是太有趣了！
一以贯之　　当乘数超过　81　时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现
象依然存在，真是“吾道一以贯之”。随便看几个例子：
（1）乘数为　9　的倍数
12345679×243＝2999999997，只要把乘积中最左边的一个数　2　加到最右
边的　7　上，仍呈现“清一色”。
（2）乘数为　3　的倍数，但不是　9　的倍数
12345679×84＝1037037036，只要把乘积中最左边的一个数　1　加到最右边
的　6　上，又可看到“三位一体”现象。
（3）乘数为　3k＋1　或　3k＋2　型
12345679×98＝1209876542，表面上看来，乘积中出现雷同的　2，但据上
所说，只要把乘积中最左边的数　1　加到最右边的　2　上去之后，所得数为
209876543，是“缺　1”数，而根据上面的“学说”可知，此时正好轮到　1　休
息，结果与理论完全吻合。
走马灯　　冬去春来，24　个节气仍然是立春、雨水、惊蛰……其次序完全

不变，表现为周期性的重复。“缺　8　数”也有此种性质，但其乘数是相当奇
异的。
实际上，当乘数为　19　时，其乘积将是　234567901，像走马灯一样，原先
居第二位的数　2　却成了开路先锋。深入的研究显示，当乘数成一个公差等于
9　的算术级数时，出现“走马灯”现象。例如：
12345679×28＝345679012

12345679×37＝456790123
回文结对　　携手同行　　“缺　8　数”的“精细结构”引起研究者的浓厚兴
趣，人们偶然注意到：
12345679×4＝49382716
12345679×5＝61728395
前一式的积数颠倒过来读（自右到左），不正好就是后一式的积数吗？
（但有微小的差异，即　5　代以　4，而根据“轮休学说”，这正是题中的应有
之义。）
这样的“回文结对，携手并进”现象，对　13、14、22、23、31、32、40、
41　等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于　9）也应如此。例如：
12345679×67＝827160493
12345679×68＝839506172
遗传因子　　“缺　8　数”还能“生儿育女”，这些后裔秉承其“遗传因子”，
完全承袭上面的这些特征，所以这个庞大家族的成员几乎都同其始祖
12345679　具有同样的本领。
例如，506172839　是“缺　8　数”与　41　的乘积，所以它是一个衍生物。
我们看到，506172839×3＝1518518517。
如前所述，“三位一体”模式又来到我们面前。

能被　2　和　5　整除的数

一个数的末一位数能被　2　和　5　整除，这个数就能被　2　和　5　整除。具体地
说，个位上是　0、2、4、6、8　的数，都能被　2　整除。个位上是　0　或是　5　的数，
都能被　5　整除。
例如：128、64、30　的个位分别是　8、4、0，这　3　个数都能被　2　整除。
281、165、79　的个位分别是　1、5、9，那么这　3　个数都不能被　2　整除。
在上面的　6　个数中，30　和　165　的个位分别是　0　和　5，这两个数能被　5　整
除，其他各数均不能被　5　整除。

能被　3　和　9　整除的数

一个数各个数位上的数的和能被　3　或　9　整除，这个数就能被　3　或　9　整除。
7＋4＋1＋6＝18，18　能被　3　整除，也能被　9　整除，所以　7416　能被　3　整除，
也能被　9　整除。
再如：5739　各个数位上的数之和是：
5＋7＋3＋9＝24，24　能被　3　整除，但不能被　9　整除，所以　5739　能被　3　整除，
而不能被　9　整除。

能被　4　和　25　整除的数

一个数的末两位数能被　4　或　25　整除，这个数就能被　4　或　25　整除。具体
地说，一个数的末两位数是　0，或是　4　的倍数这个数就是　4　的倍数，能被　4
整除。一个数的末两位数是　0　或是　25　的倍数，这个数就是　25　的倍数，能被
25　整除。
例如：324，4200，675，三个数中，324　的末两位数是　2424　是　4　的倍数，
所以　324　能被　4　整除。675　的末两位数是　7575　是　25　的倍数，所以　675　能被
25　整除，4200　的末两位数都是　0，所以4200　既能被　4　整除，又能被　25　整除。

能被　8　和　125　整除的数

一个数的末三位数能被　8　或　125　整除，这个数就能被　8　或　125　整除。具
体地说，一个数的末三位数是　0　或是　8　的倍数，就能被　8　整除；一个数的末
三位数是　0　或是　125　的倍数，就能被　125　整除。
例如：2168、32000、1875，3　个数中，2168　的末三位数是　168，168　是
8　的倍数，所以　2168　能被　8　整除。1875　的末三位数是　875，875　是　125　的倍
数，所以　1875　能被　125　整除。32000　的末三位数都是　0，所以　32000　既能被
8　整除，又能被　125　整除。

能被　7、11　和　13　整除的数

一个数末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（以
大减小），能被　7、11、13　整除，这个数就能被　7、11、13　整除。
例如：128114，由于　128…114＝14，14　是　7　的倍数，所以　128114　能被　7
整除。
94146，由于　146…94＝52，52　是　13　的倍数，所以　94146　能被　13　整除。
64152　由于　152…64＝88，88　是　11　的倍数，所以　64152　能被　11　整除。
能被　11　整除的数，还可以用“奇偶位差法”来判定。一个数奇位上的数
之和与偶位上的数之和相减（以大减小），所得的差是　0　或是　11　的倍数时，
这个数就能被　11　整除。
例如：64152，奇位上的数之和是　6＋1＋2＝9，偶位上的数之和是　4＋5＝9，
9…9＝0，判断出　64152　能被　11　整除。

校庆“35”

校庆　35　周年了，为了庆祝这个日子，4　个同学用　35　这个数做游戏，游
戏的要求是：只能用　5　这个数字，或者只用　7　这个数字组成一个式子，其结
果等于　35。甲和乙分别用　4　个　5　和　4　个　7　组成　35，其式子如下：
甲：5×5＋5＋5＝35
乙：7×7…7…7＝35
另两个同学丙和丁分别用　5　个　5　和　5　个　7　组成　35。其式子如下：
丙：55…5×5＋5＝35
丁：77…7×7＋7＝35
这　4　个式子有一个特点，都是在　5×7　这个基本式子引申出来的。改变其
中一个数字，使它变成　1　和　11，以及　5　或　7　的关系，那么最后的式子中就可
以保持清一色。
比如：5×（5＋1＋1）＝5×5＋5＋5＝35
5×（11…5＋1）＝55…5×5＋5＝35
7×（7…1…1）＝7×7…7…7＝35
7×（11…7＋1）＝77…7×7＋7＝35

阿凡提新传

财主正在给　9　个亲戚分一筐苹果，阿凡提来了。这时财主正不知道怎么
分好。阿凡提说：“我来帮帮你的忙，保证给他们平均分好，但是有一个条
件，最后分剩下的给我。”财主答应了。阿凡提数了　70　多个苹果，分到最后，
阿凡提剩下的苹果比其他每人分得的还多。你知道阿凡提是怎么分的，他开
始拿出了　70　几个苹果？
解答：把题的意思变成数学语言，就是
7△÷9＝○……□
其中○是商数，□是余数，要求余数最大。
由于被除数为　7△，所以○只能是　7　或　8，如果是　8，那么　7△必定在　72
到　79　之间，以　79　为例，有最大余数为　7。即
79÷9＝8……7
但如果○为　7，它的最大余数应该是比除数少　1　的数，即　9…1＝8，因此被
除数应是：
7×9＋8＝71
所以答案应是：
71÷9＝7……8
因此，阿凡提最初拿出　71　个苹果，平分给　9　人，每人是　7　个苹果，而剩
下的留给阿凡提，阿凡提反而得到　8　个苹果。

跷跷板与不等式

游乐场里的跷跷板，大个儿总是沉沉地压向一端，而小个儿总是被抬到
高处，这与数学里的不等式是多么相像！
楞儿游泳班的　8　个孩子，这时也在游乐场里玩跷跷板。他们之中，有　5
个女孩子，3　个男孩子。女孩子的体重都是　25　公斤，男孩子的体重都是　30
公斤。
他们要在跷跷板上比个高低，女孩子占左边，男孩子占右边。只见女孩
子坐上去一个，那边男孩子上去一个又给压了下来。连续　3　个女孩子坐在左
边板上，3　个男孩子那边又沉沉地压下来。这时第　4　个女孩子再坐上去，左
边胜利了，还剩一个女孩子没有机会再上去了。
正在这时，从别处跑来一个男孩子，他向着那　3　个男孩子，说：“我来
帮你们。”于是，第　5　个女孩子又上了左边，新来的男孩子上了右边，果然，
男孩子这边反败为胜。
女孩子们不高兴了，说：“你太偏向了。”于是，他们之间达成了一个
协议：女孩子们下去　3　个，然后，这个男孩子坐在左边，与女孩子们在一道。
这样一变换阵式，却并没有改变女孩子们的境遇，那　3　个男孩子还是赢了。
试问：这个新来的男孩子的体重大概是多少？
解答：
假设：女孩子用　y　表示（体重为　y　公斤）；
男孩子用　x　表示（体重为　x　公斤）；
新来的男孩子用　w　表示（体重为　w　公斤）。
那么，新男孩子来了以后，两次竞赛的结果可用两个不等式表示：
5y＜w＋3x（1）
w＋2y＜3x（2）
由（1）式，得到：
w＞5y…3x（3）
由（2）式，得到：
w＜3x…2y（4）
由（3）式和（4）式，得到：
5y…3x＜w＜3x…2y
因为，x＝30　公斤，y＝25　公斤
所以：35　公斤＜w＜40　公斤
新来的男孩子，他的体重在　35　公斤到　40　公斤之间。

数学黑洞

在古希腊神话中，科林斯国王西西弗斯被罚将一块巨石推到一座山上，
但是无论他怎么努力，这块巨石总是在到达山顶之前不可避免地滚下来，于
是他只好重新再推，永无休止。著名的西西弗斯串就是根据这个故事而得名
的。
什么是西西弗斯串呢？也就是任取一个数，例如　35962，数出这数中的
偶数个数、奇数个数及所有数字的个数，就可得到　2（2　个偶数）、3（3　个
奇数）、5（总共五位数），用这　3　个数组成下一个数字串　235。对　235　重复
上述程序，就会得到　1、2、3，将数串　123　再重复进行，仍得　123。对这个程
序和数的“宇宙”来说，123　就是一个数字黑洞。
是否每一个数最后都能得到　123　呢？用一个大数试试看。例如：
88883337777444992222，在这个数中偶数、奇数及全部数字个数分别为　11、
9、20，将这　3　个数合起来得到　11920，对　11920　这个数串重复这个程序得到
235，再重复这个程序得到　123，于是便进入“黑洞”了。
这就是数学黑洞“西西弗斯串”。同学们努力学习，去探索、发现其中
的奥秘吧！

哥德巴赫猜想

1742　年　6　月　7　日由德国数学家哥德巴赫给大数学家欧拉的信中，提出把
自然数表示成素数之和的猜想，人们把他们的书信往来归纳为两点：
（1）每个不小于　6　的偶数都是两个奇素数之和。例如，6＝3＋3，8＝5＋3，
100＝3＋97，……。
（2）每个不小于　9　的奇数都是三个奇素数之和，例如，9＝3＋3＋3，
15＝3＋7＋5，……99＝3＋7＋89，……。
这就是著名的哥德巴赫猜想。从　1742　年到现在　200　多年来，这个问题吸
引了无数的数学家为之努力，取得不少成果，虽然至今没有最后证明哥德巴
赫猜想，但在证明过程中所产生的数学方法，推动了数学的发展。
为了解决这个问题，就要检验每个自然数都成立。由于自然数有无限多
个，所以一一验证是办不到的，因此，一位著名数学家说：哥德巴赫猜想的
困难程度，可以和任何没有解决的数学问题相匹敌。也有人把哥德巴赫猜想
比作数学王冠上的明珠。
为了摘取这颗明珠，数学家们采用了各种方法，其一是用筛法转化成殆
素数问题（所谓殆素数就是素因数的个数