人类学--人及其文化研究-第37部分

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把它们化为数字的推算来帮助自己，那么，他就会相信上述这一点。人们如何进步到采
用数字符号？或许可从野蛮时代的会意文字中获得回答这个问题的起点。例如，北美的
战士用标上四个小点来表明他剥了四个人的头皮。这种方法对于不大的数字是适用的，
但是对于大数字就不适用了。因此，早在文字艺术的童年状态下，古人们就想到创造一
些专门符号来表示五个、十个、一百个等等，而仍旧只用简单的小点来表示个位数。
　　这一点在插图中可以很好地看到。图87表明如何应用古代埃及和亚述的进位法。这
种古老的方法还没有灭绝，因为迄今仍然应用的罗马数字符号I、V、X、L，就几乎是按
照同样的原则排列的。另一种由字母产生的方法，就是按顺序用字母来表示数字。例如，
圣歌诗CXIX就附有希伯来文字母作为标记号码，而《伊利亚特》一书就用希腊文字母作
标记号码。借助这各种各样的进位方法，古代算术做出了巨大成绩。然而所有这些进位
法比起新世界的进位法来，是极不适用的。只要写一写MMDCLXIX和乘以　CCCXLVlll就可
以说明，我们丝毫也不会忘记确信我们的数字的优越性。
　　为了了解数字如何发明，必须回到粗野的社会形态中来。在非洲，能够在市场上看
到用小石子算帐的黑人商人。他们算到五的时候，就把一颗小石子放入在另一边的小堆
之中。在太平洋的岛屿上发现，土著们数到十的时候，就把不满十的一堆东西分开放在
一边，而仅用一块椰子果来表示十。以后，如有必要，就用一大块椰子果来标志十个十
或一百。显而易见，这样采取各种不同符号并不是必要的，重要的是要借助小石子或椰
子来进行计算，这就是使一个一堆，十个一堆，一百个一堆等等分别处于独立状态。采
用像石子这样一些东西作计算标志，在古代十分普遍，因而希腊的计算用语中曾有“Ps
ephizein”，这个词是从“Psephos”（石头）来的，而相应的拉丁文是“calculare”，
也是从“calculus”（石头）来的。用石子作为计算标志，迄今仍然作为遗留保存在英
国居民的文盲层中。
　　为了调整这类用石子计算的顺序，需要一种算盘，或带分类的计算盘。这算盘有各
种形式。例如，罗马的算盘是在一些小木柱上穿许多小孔或安上许多节，而中国的算盘
则是把许多木珠穿在许多金属丝上，当地商店里的会计就用它们迅速而准确地计算，其
迅速程度和准确程度远远超过使用铅笔和纸的欧洲帐房办事人员。俄罗斯的商人们可能
就是从中国传入这种计算方法，他们同样采用这种方法进行计算。据说，在拿破仑侵略
时期，有个法国人在俄罗斯看到这种计算方法之后，大为惊奇，认为它们能够很好地用
来教儿童们算术。因此，他把算盘引进法国，它又从这里进入英国的初级学校。不论使
用那种算盘，它们的原则是相同的，就是盘面分成若干行，第一行的石子、豆粒、小木
柱或木珠，表示个位，第二行表示十位，而第三行表示百位，等等，如图88。在这里，
右面一行的三颗石子表示3，下一行的九颗石子则表示90，第四行的一颗石子表示1000，
等等。
　　进一步完善在于取消不适用的石子或豆粒，也在于在行中记下数字，如插图中用希
腊和罗马的数字符号所表示的那样。而现在，会计没有拙策的器具也已经能够过得去了；
他只要在纸上画上线，造成个位行，十位行，百位行，等等就可。当然，读者已经看出，
完全没有必要遵守算盘的原则，每下一行都较前一行多十倍。它也可能是多十二倍，或
多二十倍，或多某种需要的倍数。不过这种计算仍然为数字没有行不成这种缺点所苦，
因为甚至从个位到十位的每个数都有了一个独立数字来表示时，有的计仍然可能会留下
空白（如图中所特意这么做的那样）。在取消行的情况下，那就会导致一切都混乱不清。
现在，我们觉得用一个符号来标志空行是最简单的事，由于已经学会了借助零或符号0，
因此，算盘上表示的数字，现在书写起来就投有任何行了——241093。
　　这种在实践方面表示“无”的符号的发明，是在科学中迈出的最伟大的一步。正是
零的采用，构成了古代算术和我们的方便计算之间的全部区别。我们认为这是阿拉伯人
的发明，因而采用了术语“阿拉伯字码”，然而阿拉伯人自己却称它们是印度字码。这
两种名称都含有几分真理，因为有些民族是向另一些民族学习了算术。但是迄今为止，
仍然有个没有解决的问题：这些字码是在亚洲发明的，还是起源于欧洲，起源于毕达哥
拉斯学派（school　of　Pythagoras）的算术。但是，主要之点则毫无疑问，那就是，新
时代的算术起源于古代按照算盘各行的计算，而这种算盘后来为书写圈或零来标志空行
所改进。借助于这种符号，现代的儿童们能够轻易地进行运算，而这种运算对于古代的
计算者来说，是极端困难的。
　　现在，我们转来谈谈测量技术。很容易就能立即想到，也像计算一样，人最初是借
助自己的身体来进行测量的。当野蛮人借助自己手指的宽度知道一支矛比另一支矛长多
少的时候，或者在建造茅屋的时候，他们想到应当把一只脚放在另一只前面，以取得两
柱之间的距离，他们就使测量技术走上了第一阶段。迄今为止，我们在从事粗糙工作时
有时也采用这种方法，例如，我们用手势来表明马的高度，或用步子来量地毯的大小。
如果选择的是中等身材的人，那么，能使测量十分正确。原始的方法就是这样，未必能
加以怀疑，因为掌握了较精确手段的文明民族，至今也还采取身体度量的名称．如肘，
掌、足（英尺），拃，指，等等。不过，这些名称虽保留着借助人体器官的早期测量的
回声，它们在现代也只是用作人们偶尔能按其大小与之十分相近的度量单位的方便名称。
例如，人的一足长为一福特，如果把它作为定则，当然是极大的谬误。
　　我们的新测量法，是借助标准度量进行测量。这种标准度量，我们是从古代继承下
来的，只不过作了或大或小的改变。埃及人和巴比伦人把具有为标准度量所必需的一定
精确长度的一段木头或金属拿来应用，这是文明史上的伟大一步。至今还可以看到分成
若干节的埃及的肘，而巨大金字塔中的皇帝房间，长有二十肘，宽有十肘，极为精确。
一肘等于20．63英寸。我们的福特在最近几世纪中没有变化，跟希腊和罗马的福特也不
太相等。
　　法国人在第一次革命时期作了大胆尝试，抛弃古代的传统度量而直接取法于自然，
于是就制定了公尺，它是赤道和极之间距离的千万分之一。但是，这种计算原来并不精
确。所以公尺在现代实际上是陈旧了的标准度量，然而同样是一些度量，那种分成若干
细度的公尺在使用上便利性是如此之大，在全世界越来越多地为科学工作所采用。在最
早的某些时代，文明民族中就已经开始使用天平和液体及颗粒体量器。我们现代的度量
单位，在一定程度上可以追溯到古代的度量单位。例如，榜和英两，加仑和品脱起源于
古代罗马的量和度。
　　人们可能很快就从用英尺测量长度过渡到用平方英尺来计算面积，例如某种长方形
的面积。但是，计算面积，较简单图形极少采用较复杂的几何原则。发明几何学——也
就是“测量学”的荣誉，希腊人认为应属于埃及人。在古代故事中可能包含某一部分真
理。根据这种故事，由于要把尼罗河岸上用淤泥施肥的土地划分成若干部分，这种技术
就有了产生的基础。在不列颠博物馆有一部古埃及测量指南（林德Rhind古抄本），这是
世界上最古的书籍之一，写于欧基里得时代之前一千多年时期，这部书指明，埃及人当
时在几何方面知道了什么，还不知道什么。从他们的几何的图形和实例得知，他们采用
了正方形的度量，然而只用粗略的方式来计算它们。例如，为了测量三角形地　ABC的面
积，他们用AB乘AC的一半，这只有在BAC是直角的情况下才能是正确的。当要求埃及人求
出圆地的面积时，他们就减去直径的九分之一，并取剩下的正方形部分。例如，假若直
径等于　9杆（1杆=5　1/2码），那么，他们发现，这块圆形地包括着64个正方形的杆。经
过核对，与实际是非常相近的。
　　十分明显，这是几何学的开端，并且可以相信下面的证据：像泰勒斯和毕达哥拉斯
的希腊哲学传到了埃及，使得这个国家的牧师——几何学家获得了智慧。但是，这些埃
及的数学家，作为牧师阶级的成员，却开始把自己的这些几何规则当作神圣的，因而也
是不可改进的；这样，使他们那些与此无关的希腊学生们，在寻求更完善的方法上得以
大步前进。于是，希腊的几何学就取得了由欧基里得的伟大著作传到现在的那些成绩。
欧基里得采用了他的前辈所熟知的定理，同时补充了新的内容，并且全都合乎逻辑地加
以证明。
　　但是，可以设想，初等几何学实际上并不是借助那些像欧基里德所采用的定义、定
理和推论方明出来的。它的萌芽事实上发生于土地丈量员、石匠、木匠和裁缝的日常工
作之中。这一点，可以从古代印度祭坛建造重的几何定理中看出来。这些定理告诉石匠，
不必在几条线构成的平面上绘图，而是在有一定距离的两端立起竿子，竿子之间拉直绳
子。如果我们在两个小木柱之间拉紧一条线，那么，我们就会看到，拉在的线比别的线
短。这就能使我们猜想出；两点之间以直线为最短的定义是怎样得出来的。同样，每一
个木匠都知道直角的性质，并且惯于使用平行线或两条彼此距离相等的线。对于裁缝来
说，直角则是另一种手段。假定说，他剪一块重叠的布，以便打开做接角布或图89上的
　BAC楔形布块，他就应当按直角　ADB来剪，因为不这样，剪下的布块展开之后就会或者
凹进，或者凸出，就像在图中所看到的那样。若照直剪，BDC展开就成一条直线，他不能
不看到，边AB和AC及角ABC和ACB必定彼此相等，因为在剪裁时，它们是边对边、角对角
地重叠在一起的。因此，借助这种所谓裁缝几何学，他就得出了欧基里德定理，这种定
理在现代就是以“驴桥”的名称而著名的。
　　这些很容易理解的几何图形的性质，很早就在实践上为大家所熟知了。但同样正确
的是，古代长期并不了解现代属于基本训练的那些问题。例如，我们只是谈到了，埃及
的测定地界者不能为测量三角地确立精确的定则。但是，如果他们想从一张草纸上剪下
一个三角形图，像我们在图　89．3上对三角形　ABC所能做的那样，如图上所表明的把它
放下，那么，他们就会发现，它是放在长方形EFHG内，因而，它的面积就是底与高之半
的乘积。他们也能够看到，这不是什么偶然性，而是一种属于所有三角形的本性，而且，
正如同时所表现出的，A、B和C三个角一同全放在D上，就形成了两个直角。显然，较早
的埃及几何学家，连三角形的这一特性也不知道，而希腊的几何学家们，却早在欧基里
德时代之前就借助某种方法熟悉了它们。
　　显然，叙述数学发明之起源的古代历史学家们，并不总是明白他们所说的。例如，
他们谈到泰勒斯时说，他第一个把直角三角形内接于圆，在这之后，他就用牛上供了。
但是，这样卓越的数学家未必能知道聪明的木匠有时知道的事情；木匠需要时能把长方
桌对称地改成圆桌，这就包含着内接于半圆中的直角三角形的问题，如上图所见。或许，
事实上这故事的意思是泰勒斯第一次对这个原理做出了几何学的证明。同样地也谈到了
毕达格拉斯，另一种说法，说他发现了直角三角形之弦的平方等于其余两边平方之和以
后，就用百牛牺牲上供。这个故事对于不许以任何动物上供的哲学家方面来说，似乎不
太可信。至于发明者，他可能是在实践中凿平方石以铺路或制做屋瓦的著名瓦石匠。例
如，当底有三块瓦长，而垂直线有四块瓦长时，斜边就将有五块瓦拉；在它上面构成一
个长方形所需的瓦数，就等于用它在其余两个边上共同组成一个长方形所需要的瓦数。
毕达格拉斯采用了类似的实际规则，或者他通过研究算术的平方数得出了这个原理，在
任何情况下他都能数